[论文解读] Minimum correlation for any bivariate Geometric distribution

Mark Huber, Nevena Marić|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2014

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文推导了任意参数为 $p_1$ 和 $p_2$ 的二元几何分布的精确最小相关系数，表明其可在 $O(p_1^{-1} ln(p_1^{-1}) + p_2^{-1} ln(p_2^{-1}))$ 时间内计算得出。研究证明，当 $p_1 = p_2$ 时，最小相关系数表现出非单调性且其偏导数不连续，特别地，本文利用逆变换采样结合对称变量，提供了分析界和精确表达式。

ABSTRACT

Consider a bivariate Geometric random variable where the first component has parameter $p_1$ and the second parameter $p_2$. It is not possible to make the correlation between the marginals equal to -1. Here the properties of this minimum correlation are studied both numerically and analytically. It is shown that the minimum correlation can be computed exactly in time $O(p_1^{-1} \ln(p_2^{-1}) + p_2^{-1} \ln(p_1^{-1}))$. The minimum correlation is shown to be nonmonotonic in $p_1$ and $p_2$, moreover, the partial derivatives are not continuous. For $p_1 = p_2$, these discontinuities are characterized completely and shown to lie near (1- roots of 1/2). In addition, we construct analytical bounds on the minimum correlation.

研究动机与目标

• 确定两个独立几何分布随机变量（参数分别为 $p_1$ 和 $p_2$）之间可达到的理论最小相关系数。
• 分析最小相关系数函数的非单调性与不连续性，特别是当 $p_1 = p_2$ 时的情形。
• 提供一种高效算法，实现在 $O(p_1^{-1} \ln(p_1^{-1}) + p_2^{-1} \ln(p_2^{-1}))$ 时间内的最小相关系数计算。
• 推导最小相关系数函数的解析上界与下界。

提出的方法

• 利用 Fréchet-Hoeffding 界，并通过逆变换采样结合对称变量 $U$ 和 $1-U$ 实现最小相关系数。
• 采用几何分布累积分布函数的伪逆，定义为 $F_p^{-1}(u) = \sum_{n=1}^\infty \mathbf{1}(1 - (1-p)^n \leq u < 1 - (1-p)^{n+1})$。
• 通过将单位区间划分为由 $\alpha_i$ 和 $\beta_i$ 定义的区间，推导期望乘积 $\mathbb{E}[F_p^{-1}(U) F_p^{-1}(1-U)]$。
• 通过在逆累积分布函数为常数的区间上求和，利用基于区间数量 $c_i$ 的分段表达式 $L_i$，计算最小相关系数。
• 根据 $\alpha_k$ 相对于 $\beta_{k+1}$ 和 $\beta_{k+2}$ 的位置，对 $L_k$ 进行分类，得出三种不同的解析形式。
• 通过求和中的递归消去，简化 $\sum_{i=1}^{k-1} i L_i$，最终得到仅含 $q = 1-p$ 和 $c_i$ 值的闭式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 两个独立几何分布随机变量（参数分别为 $p_1$ 和 $p_2$）之间的最小相关系数的确切值是多少？
• RQ2 为何最小相关系数在偏导数上表现出非单调性与不连续性，尤其是在 $p_1 = p_2$ 时？
• RQ3 能否高效计算最小相关系数？此类计算的计算复杂度是多少？
• RQ4 可以为最小相关系数函数推导出哪些解析界？

主要发现

• 最小相关系数 $\rho_-(p_1, p_2)$ 可在 $O(p_1^{-1} \ln(p_1^{-1}) + p_2^{-1} \ln(p_2^{-1}))$ 时间内精确计算。
• 当 $p_1 = p_2 = p$ 时，最小相关系数表现出非单调性，并在 $p = 1 - r$ 附近出现导数不连续，其中 $r$ 是方程 $1/2$ 的根。
• 当 $p \geq 1/2$ 时，最小相关系数恰好为 $p - 1$，即理论下界。
• $[\alpha_k, 1/2]$ 区间内的 $\beta_i$ 值集合要么为空，要么为 $\{\beta_{k+1}\}$，要么为 $\{\beta_{k+1}, \beta_{k+2}\}$，且此类点数不超过两个。
• 期望乘积 $\mathbb{E}[F_p^{-1}(U) F_p^{-1}(1-U)]$ 表示为 $iL_i$ 的和，其中 $L_i$ 依赖于区间宽度与计数 $c_i$，从而导出简化后的闭式表达式。
• 通过基于 $\alpha_k$ 相对于 $\beta_{k+1}$ 和 $\beta_{k+2}$ 位置的三种不同情形，对 $L_k$ 构建分段表达式，进而构造出最小相关系数的解析界。