[论文解读] Minimum Cost Input/Output Design for Large Scale Linear Structural Systems

Sérgio Pequito, Soummya Kar+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2014

Advanced Control Systems Optimization参考文献 24被引用 1

一句话总结

本文提出多项式时间算法，用于大规模线性结构系统中最优输入/输出位置配置，以最小化成本并确保结构可控性或可观测性。通过将问题建模为带成本感知松弛变量的二分图中的最小权最大匹配，该方法能高效确定在任意非齐次成本下的最小成本执行器/传感器配置，且具有已证明的最优性与计算效率。

ABSTRACT

In this paper, we provide optimal solutions to two different (but related) input/output design problems involving large-scale linear dynamical systems, where the cost associated to each directly actuated/measured state variable can take different values, but is independent of the labeled input/output variable. Under these conditions, we first aim to determine and characterize the input/output placement that incurs in the minimum cost while ensuring that the resulting placement achieves structural controllability/observability. Further, we address a constrained variant of the above problem, in which we seek to determine the minimum cost placement configuration, among all possible input/output placement configurations that ensures structural controllability/observability, with the lowest number of directly actuated/measured state variables. We show that both problems can be solved efficiently, i.e., using algorithms with polynomial time complexity in the number of the state variables. Finally, we illustrate the obtained results with an example.

研究动机与目标

• 开发一种高效且最优的解决方案，用于在任意非齐次成本下，选择大规模线性动态系统中的执行器和传感器位置。
• 在总配置成本最小化的同时，确保结构可控性或可观测性，即使每个状态变量的成本不同亦可实现。
• 解决两种变体：一种是直接作用变量数最少的配置，另一种是纯粹成本最小化。
• 提供一种计算高效的框架，适用于具有异构组件的实际系统，如电力系统和工业装置。
• 通过对偶性将结果扩展至结构可观测性，实现在成本约束下的输出设计优化。

提出的方法

• 将输入/输出设计问题建模为基于系统状态转移结构导出的二分图上的最小成本最大匹配问题。
• 引入具有边权重的松弛变量，该权重结合了状态变量成本与非顶端连接强连通分量（SCCs）的最小成本。
• 使用修改后的二分图（B(Ā, S); w′）来建模成本感知的分配，其中边权重反映相关SCCs的执行成本与最小成本之和。
• 应用最大匹配算法识别右部未匹配的顶点，这些顶点对应于需要专用输入的状态变量。
• 通过将专用输入分配给右部未匹配的顶点，构建最优输入矩阵，从而以最小成本确保结构可控性。
• 证明了通过图论技术，最小成本与最小执行器数量两种变体均可在多项式时间内求解。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否找到一种最小成本的输入配置，以确保在具有非均匀执行成本的大规模线性系统中实现结构可控性？
• RQ2 如何在保持结构可控性并最小化成本的同时，最小化直接作用变量的数量？
• RQ3 是否存在一种多项式时间算法，用于解决在任意非齐次成本分配下的最优输入/输出位置配置问题？
• RQ4 所提出的框架能否通过二元性扩展至结构可观测性？
• RQ5 在现实成本约束下，求解这些输入/输出设计问题的计算复杂度是多少？

主要发现

• 所提出的算法以多项式时间求解最小成本输入/输出设计问题，具体时间复杂度为 O(n^3)，适用于n个状态变量的大规模系统，具备良好的可扩展性。
• 该方法在任意非齐次成本下，对最小成本与最小执行器数量两种变体均保证最优性。
• 在示例中，通过允许更多被作用变量，成本从60（最小执行器数量时）降低至30，展示了成本感知设计的优势。
• 使用具有成本感知边权重的松弛变量，使模型能够捕捉执行器数量与总成本之间的权衡。
• 该框架可通过二元性扩展至结构可观测性，从而实现传感器配置在成本约束下的类似优化。
• 结果表明，放宽最小执行器数量约束可显著降低总成本，凸显了成本感知设计相较于纯最小执行器方法的重要性。