[论文解读] Minmax Hierarchies and Minimal Surfaces in Manifolds

Tristan Rivière|arXiv (Cornell University)|May 27, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种极小化-极大化层次框架，用于在巴拿赫流形中构造莫尔斯指数递增的临界点，通过基于粘性方法的极小化-极大化方法将其应用于流形中的极小曲面。该研究证明了在 $S^3$ 中存在严格递增面积的极小曲面，给出了克利福德环面的极小化-极大化表征，并证明了在给定面积阈值以下，粘性方法下莫尔斯指数的下半连续性。

ABSTRACT

We introduce a general scheme that permits to generate successive min-max problems for producing critical points of higher and higher indices to Palais-Smale Functionals in Banach manifolds equipped with Finsler structures. We call the resulting tree of minmax problems a minmax hierarchy. Using the viscosity approach to the minmax theory of minimal surfaces introduced by the author in a series of recent works, we explain how this scheme can be deformed for producing smooth minimal surfaces of strictly increasing area in arbitrary codimension. We implement this scheme to the case of the $3-$dimensional sphere. In particular we are giving a min-max characterization of the Clifford Torus and conjecture what are the next minimal surfaces to come in the $S^3$ hierarchy. Among other results we prove here the lower semi continuity of the Morse Index in the viscosity method below an area level.

研究动机与目标

• 将极小化-极大化层次框架从线性特征值问题推广到巴拿赫流形中的非线性几何变分问题。
• 为闭合曲面的面积泛函在浸入曲面上生成莫尔斯指数递增的临界点，开发系统化方法。
• 将极小化-极大化层次框架应用于 $S^3$ 中极小曲面的构造，特别是共形维数为一的情形。
• 证明在给定面积水平以下，粘性极小化-极大化方法中莫尔斯指数的下半连续性。
• 提供克利福德环面作为 $S^3$ 上层次中第二个极小曲面的极小化-极大化表征。

提出的方法

• 通过从多面体链空间到 $W^{3,2}$-浸入模标记微分同胚空间的利普希茨映射空间，构建递归的极小化-极大化层次。
• 定义具有拓扑约束的可接受扫掠 $\mathrm{Sweep}_{N_k}$，以确保与先前临界集的非平凡链接。
• 实施极小曲面极小化-极大化理论的粘性方法，实现对面积严格递增的光滑极小曲面的构造。
• 以闭合曲面在 $W^{3,2}$-浸入上的面积泛函作为能量泛函，模去标记微分同胚以形成配置空间 $\mathfrak{M}(M^m)$。
• 应用帕莱斯-斯莫尔条件和形变理论，确保收敛到面积泛函的临界点。
• 推导面积泛函的二阶变分公式，以分析极小曲面的稳定性和莫尔斯指数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在巴拿赫流形中为面积等非线性几何泛函系统地构造极小化-极大化层次？
• RQ2 如何在任意共形维数下生成面积和莫尔斯指数严格递增的极小曲面？
• RQ3 在该层次中，$S^3$ 内克利福德环面的极小化-极大化表征是什么？
• RQ4 在给定面积阈值以下，粘性极小化-极大化方法中莫尔斯指数是否下半连续？
• RQ5 在 $S^3$ 中极小曲面层次中，克利福德环面之后预期的下一个极小曲面是什么？

主要发现

• 极小化-极大化层次构造产生严格递增的宽度 $W_k(M^m) > W_{k-1}(M^m)$，确保生成莫尔斯指数递增的临界点。
• 在 $S^3$ 中，克利福德环面通过极小化-极大化公式 $\lambda_2 = \inf_{u \in \mathrm{Sweep}_{N_2}} \max_{y \in Y_2} \mathrm{Area}(u_y)$ 被表征为层次中的第二个临界曲面。
• 论文证明了在给定面积水平以下，粘性极小化-极大化方法中莫尔斯指数的下半连续性，这是关键的稳定性结果。
• 该方法成功构造出 $S^3$ 中面积和指数递增的光滑极小曲面，层次结构提示了克利福德环面之后的候选曲面。
• 推导出面积泛函的二阶变分公式，使得可通过曲率和第二基本形式项分析稳定性和莫尔斯指数。
• 粘性方法允许在不依赖线性结构或内积的情况下构造极小曲面，将经典特征值方法推广到非线性几何设置。