[论文解读] Mirror symmetry and projective geometry of Reye congruences I

Shinobu Hosono, Hiromichi Takagi|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 34被引用 3

一句话总结

本文研究了在 $\mathbb{P}^4$ 中由 Reye 同余构造的卡拉比-丘三复形的镜像对称性，推测并构造了 Reye 同余卡拉比-丘三复形 $X$ 的一个非平凡傅里叶-穆卡伊伙伴 $Y$。通过 toric 镜像对称与周期积分分析，作者识别出两个大复结构极限点，其中一个对应于 $X$，另一个对应于作为 $\mathbb{P}^4$ 中一个行列式五次曲面的 $\mathbb{Z}_2$-覆叠（分支于一个亏格 26 的曲线）的 $Y$。主要贡献在于对 $Y$ 的显式构造以及通过镜像对称计算 $X$、$Y$ 和一个相关完全交 $\tilde{X}_0$ 的 BPS 数字。

ABSTRACT

Studying the mirror symmetry of a Calabi-Yau threefold $X$ of the Reye congruence in $\mP^4$, we conjecture that $X$ has a non-trivial Fourier-Mukai partner $Y$. We construct $Y$ as the double cover of a determinantal quintic in $\mP^4$ branched over a curve. We also calculate BPS numbers of both $X$ and $Y$ (and also a related Calabi-Yau complete intersection $ ilde X_0$) using mirror symmetry.

研究动机与目标

• 通过 $\mathbb{P}^4 \times \mathbb{P}^4$ 中五个对称 $(1,1)$-除子的几何结构，研究在 $\mathbb{P}^4$ 中定义为 Reye 同余的卡拉比-丘三复形的镜像对称性。
• 推测 Reye 同余卡拉比-丘三复形 $X$ 存在一个非平凡的傅里叶-穆卡伊伙伴 $Y$，类似于 $G(2,7)$ 与 $Pf(7)$ 对偶性。
• 显式构造 $Y$ 为 $\mathbb{P}^4$ 中一个行列式五次曲面的 $\mathbb{Z}_2$-覆叠，分支于一个亏格 26、次数 20 的光滑曲线。
• 通过镜像对称方法计算 $X$、$Y$ 和相关完全交 $\tilde{X}_0$ 的格罗莫夫-威滕不变量与 BPS 数字。

提出的方法

• 将 Reye 同余 $X$ 构造为 $\mathbb{P}^4 \times \mathbb{P}^4$ 中五个对称 $(1,1)$-除子的通用完全交 $\tilde{X}_0$ 关于对合 $\sigma: (z,w) \mapsto (w,z)$ 的 $\mathbb{Z}_2$-商。
• 应用 Batyrev 与 Borisov 的 toric 镜像构造，在 $\mathbb{P}^2$ 上构建镜像族 $\mathcal{X}_0^\vee$，随后将其约化为 $\mathbb{P}^1$ 上的对角族 $\mathcal{X}^\vee$，从而获得 $X$ 的镜像。
• 分析族的周期积分，识别出 $\mathcal{X}^\vee$ 上两个具有极大单峰单值性的大复结构极限点，其中一个对应于 $X$，另一个预测了新卡拉比-丘三复形 $Y$ 的存在。
• 利用镜像对称在每个边界点计算格罗莫夫-威滕不变量与 BPS 数字，通过周期映射与单值性分析验证预测。
• 通过 Reye 同余的射影几何，显式构造 $Y$ 为 $\mathbb{P}^4$ 中一个行列式五次曲面的双重覆叠，分支于一个亏格 26、次数 20 的光滑曲线。
• 通过镜像对称验证 $X$、$Y$ 与 $\tilde{X}_0$ 的 BPS 数字，对 $g \leq 14$ 与 $d=16$ 以内的度数提供明确表格。

实验结果

研究问题

• RQ1 Reye 同余卡拉比-丘三复形 $X$ 是否存在一个由其射影几何导出的非平凡傅里叶-穆卡伊伙伴 $Y$？
• RQ2 能否将 $X$ 的镜像族约化为 $\mathbb{P}^1$ 上的对角族？其对大复结构极限点有何含义？
• RQ3 所预测的卡拉比-丘三复形 $Y$ 是否可作为 $\mathbb{P}^4$ 中一个行列式五次曲面的 $\mathbb{Z}_2$-覆叠构造，分支于一个亏格 26、次数 20 的曲线？
• RQ4 通过镜像对称计算的 $X$、$Y$ 与 $\tilde{X}_0$ 的 BPS 数字是否与格罗莫夫-威滕理论中的预期不变量一致？
• RQ5 在此设定下，是否预期存在导出范畴等价 $D^b(Coh(X)) \cong D^b(Coh(Y))$，如同在 $G(2,7)$ 与 $Pf(7)$ 情况下一样？

主要发现

• Reye 同余卡拉比-丘三复形 $X$ 构造为 $\mathbb{P}^4 \times \mathbb{P}^4$ 中五个对称 $(1,1)$-除子的通用完全交 $\tilde{X}_0$ 关于 $\mathbb{Z}_2$-商，其 Hodge 数为 $h^{1,1}(X) = 1$，$h^{2,1}(X) = 26$。
• 镜像族 $\mathcal{X}_0^\vee$ 通过 Batyrev-Borisov toric 方法在 $\mathbb{P}^2$ 上构造，并约化为 $\mathbb{P}^1$ 上的对角族 $\mathcal{X}^\vee$，产生两个具有极大单峰单值性的大复结构极限点。
• 两个边界点中的一个对应于 $X$ 的镜像，另一个则预测了一个新卡拉比-丘三复形 $Y$ 的存在，该 $Y$ 构造为 $\mathbb{P}^4$ 中一个行列式五次曲面的 $\mathbb{Z}_2$-覆叠，分支于一个亏格 26、次数 20 的光滑曲线。
• 通过镜像对称计算了 $X$、$Y$ 与 $\tilde{X}_0$ 的 BPS 数字，并整理为表格，覆盖至亏格 $g=14$ 与度数 $d=16$，附录中提供了明确的表格（表 1–6）。
• 对于 $X$，BPS 数字为 $n_1^X(1,1) = 650$，$n_2^X(1,1) = 148525$，$n_3^X(1,1) = 3270050$；对于 $Y$，$n_1^Y(1,1) = 1475$，$n_2^Y(1,1) = 29350$，$n_3^Y(1,1) = 148525$，显示出对偶性模式。
• 对 $\tilde{X}_0$ 的 BPS 数字以双次数 $(i,j)$ 表示，其中 $n_0^{\tilde{X}_0}(1,1) = 650$，$n_1^{\tilde{X}_0}(1,1) = 29350$，$n_2^{\tilde{X}_0}(1,1) = 148525$，与镜像对称的一致性得到确认。