[论文解读] Mitigating Coherent Noise by Balancing Weight-2 $Z$-Stabilizers

Jingzhen Hu, Qingzhong Liang+2 more|UA Campus Repository (The University of Arizona)|Oct 31, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 41被引用 7

一句话总结

本文提出了一种针对量子误差纠正码中相干噪声的被动缓解策略，通过确保换位Z-旋转在码空间上作用平凡。研究建立表明，当且仅当其权重为2的Z-稳定算符构成偶长单校验检查码的直积时，一个稳定算符码对相干噪声（特别是换位Z-旋转）是无感的，从而可构造出如[[4L²,1,2L]] Shor码这类具有恒定激发特性的码，其天然地对相干噪声累积具有鲁棒性。

ABSTRACT

Physical platforms such as trapped ions suffer from coherent noise where errors manifest as rotations about a particular axis and can accumulate over time. We investigate passive mitigation through decoherence free subspaces, requiring the noise to preserve the code space of a stabilizer code, and to act as the logical identity operator on the protected information. Thus, we develop necessary and sufficient conditions for all transversal $Z$-rotations to preserve the code space of a stabilizer code, which require the weight-$2$ $Z$-stabilizers to cover all the qubits that are in the support of some $X$-component. Further, the weight-$2$ $Z$-stabilizers generate a direct product of single-parity-check codes with even block length. By adjusting the size of these components, we are able to construct a large family of QECC codes, oblivious to coherent noise, that includes the $[[4L^2, 1, 2L]]$ Shor codes. Moreover, given $M$ even and any $[[n,k,d]]$ stabilizer code, we can construct an $[[Mn, k, \ge d]]$ stabilizer code that is oblivious to coherent noise. If we require that transversal $Z$-rotations preserve the code space only up to some finite level $l$ in the Clifford hierarchy, then we can construct higher level gates necessary for universal quantum computation. The $Z$-stabilizers supported on each non-zero $X$-component form a classical binary code C, which is required to contain a self-dual code, and the classical Gleason's theorem constrains its weight enumerator. The conditions for a stabilizer code being preserved by transversal $2π/2^l$ $Z$-rotations at $4 \le l \le l_{\max} <\infty$ level in the Clifford hierarchy lead to generalizations of Gleason's theorem that may be of independent interest to classical coding theorists.

研究动机与目标

• 确定换位Z-旋转在稳定算符码的码空间上保持不变的条件。
• 在不使用主动纠错的情况下，为相干噪声开发一种被动的误差缓解策略。
• 表征在所有换位Z-旋转下保持不变的稳定算符码，确保其作用为逻辑恒等。
• 利用经典编码理论，建立对相干噪声无感的码的结构表征。
• 构造一大类在本质上对相干Z-旋转具有鲁棒性的量子误差纠正码（QECC）。

提出的方法

• 利用三角函数约束和MacWilliams恒等式，推导换位Z-旋转保持码空间不变的必要且充分条件。
• 要求权重为2的Z-稳定算符覆盖任意X-稳定算符分量的支持集中的所有量子比特。
• 通过偶长单校验检查码的直积构造，实现对相干性的鲁棒性。
• 使用生成系数框架，描述在角度π/2^l下Z-旋转作用下保持不变的码，其中l为有限整数。
• 应用经典编码理论工具，特别是MacWilliams恒等式，分析权重枚举函数与三角函数和。
• 证明一个CSS码对相干噪声无感当且仅当它是一个恒定激发码。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，换位Z-旋转在稳定算符码的逻辑态上作用平凡？
• RQ2 如何构造在换位Z-旋转引起的相干噪声下天然鲁棒的稳定算符码？
• RQ3 稳定算符码必须具备何种结构特性，才能在所有换位Z-旋转下保持不变？
• RQ4 能否以经典编码结构的形式表征对相干噪声无感的稳定算符码？
• RQ5 是否可以放宽对所有Z-旋转不变性的要求，同时仍实现有效的噪声缓解？

主要发现

• 一个稳定算符码对相干噪声无感当且仅当它是一个恒定激发码，其中逻辑态是计算基态的等权重叠加。
• 换位Z-旋转下保持不变的必要且充分条件是：权重为2的Z-稳定算符生成偶长单校验检查码的直积。
• 该构造产生了一类码，包括[[4L²,1,2L]] Shor码，对相干Z-旋转具有鲁棒性。
• 对于误差检测码，X-稳定算符不同陪集中的权重相同，这是关键的结构约束。
• 实现相干性鲁棒性的最小资源成本是将物理量子比特数量加倍（按2倍缩放），如通过直积码构造所示。
• 本文证明，若一个码在所有角度为π/2^l（l ≥ 2）的换位Z-旋转下保持不变，则其逻辑作用为平凡，且该性质可通过组合推广至更小的l值。