[论文解读] Mixed Hodge structures on the intersection homotopy type of complex varieties with isolated singularities

David Chataur, Joana Cirici|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用 4

一句话总结

该论文在具有孤立奇点的复射影概形的 perverse 代数模型上建立了混合 Hodge 结构，从而实现了交集上同调的同伦性改进。通过权谱序列和 Massey 积与形式性的 Hodge 理论分析，证明了大类此类概形的交集形式性——例如孤立曲面奇点以及具有典型孤立奇点的概形。

ABSTRACT

A homotopical treatment of intersection cohomology recently developed by Chataur-Saralegui-Tanré associates a "perverse algebraic model" to every topological pseudomanifold, extending Sullivan's presentation of rational homotopy to intersection cohomology. In this context, there is a notion of "intersection-formality", measuring the vanishing of Massey products in intersection cohomology. In the present paper, we study the perverse algebraic model of complex projective varieties with isolated singularities. We endow such invariant with natural mixed Hodge structures. This allows us to prove some intersection-formality results for large families of complex projective varieties, such as isolated surface singularities and varieties of arbitrary dimension with ordinary isolated singularities.

研究动机与目标

• 使用 perverse 代数模型将有理同伦论推广到具有孤立奇点的奇异复射影概形。
• 为具有孤立奇点的概形的 perverse 代数模型自然赋予混合 Hodge 结构。
• 在混合 Hodge 理论背景下研究交集形式性，尤其关注非中间 perversity 上同调。
• 通过权谱序列将 Deligne-Griffiths-Morgan-Sullivan 形式性定理推广到奇异概形。
• 为研究奇异概形交集上同调中的 Massey 积与上同调运算提供同伦框架。

提出的方法

• 从链包含 $ L \hookrightarrow X_{\text{reg}} $ 构造 perverse 代数模型 $ I\mathcal{A}_{\overline{\bullet}}(X) $，使用分段线性微分形式。
• 利用 Morgan 和 Durfee-Hain 建立的 $ X_{\text{reg}} $ 与链 $ L $ 的有理同伦类型的混合 Hodge 结构。
• 应用 Cirici-Guillén（2014）的混合 Hodge 图的相对模型，将 Hodge 结构上移到 perverse cdga。
• 定义 perverse 权谱序列 $ IE_{1,\overline{\bullet}}^{*,*}(X) $，其 $ E_2 $-项计算权分次的交集上同调 $ Gr_\bullet^W IH^*_{\overline{\bullet}}(X;\mathbb{Q}) $。
• 利用谱序列分析形式性，特别是通过微分的消失来分析 Massey 积的消失。
• 通过证明当权谱序列在 $ E_2 $ 项退化时，perverse cdga 是形式的，从而证明交集形式性，尤其在上同调具有平凡权过滤的情况下。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在具有孤立奇点的复射影概形的 perverse 代数模型上自然赋予混合 Hodge 结构？
• RQ2 perverse 权谱序列是否控制奇异概形中交集同伦类型的形式性？
• RQ3 是否存在大类具有孤立奇点的复射影概形是交集形式的？
• RQ4 在奇异概形的交集上同调中，Massey 积如何表现？在何种条件下它们会消失？
• RQ5 perverse cdga 上的混合 Hodge 结构在多大程度上将 Deligne-Griffiths-Morgan-Sullivan 的经典形式性定理推广到奇异空间？

主要发现

• 具有孤立奇点的复射影概形 $ X $ 的 perverse 代数模型 $ I\mathcal{A}_{\overline{\bullet}}(X) $ 自然地赋予混合 Hodge 结构。
• perverse 权谱序列 $ IE_{1,\overline{\bullet}}^{*,*}(X) $ 计算权分次的交集上同调：$ IE_{2,\overline{\bullet}}^{*,*}(X) \cong Gr_\bullet^W IH^*_{\overline{\bullet}}(X;\mathbb{Q}) $。
• 对于孤立曲面奇点，perverse cdga 是交集形式的，因为权谱序列在 $ E_2 $ 项退化。
• 具有典型孤立奇点的概形在 $ \mathbb{C} $ 上是交集形式的，原因在于 $ \mathrm{Ker}(\gamma^4)/\mathrm{Im}(\eta^4) $ 的消失。
• 尖点奇点的例子表明权过滤非平凡：$ Gr^W_2 IH^2_{\overline{0}}(X;\mathbb{Q}) \cong \mathbb{Q}^{12} $，$ Gr^W_0 IH^2_{\overline{0}}(X;\mathbb{Q}) \cong \mathbb{Q} $，证实了非平凡的混合 Hodge 结构。
• 通过权谱序列在 $ E_2 $ 项退化，特别是单个孤立奇点的情形，推导出 Massey 积的消失，从而确立了交集形式性。