[论文解读] Mixed modular perverse sheaves on moment graphs

Shotaro Makisumi|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 30被引用 4

一句话总结

本文引入了与考克斯eter群及其反射忠实表示相关的时刻图上的混合模形式 perverse 她aves 类别，推广了索尔杰尔的分次范畴 O。通过类比阿查尔-里希的混合导出范畴的重组结构，证明了该类别为分次最高权，为模表示理论提供了组合框架，并实现了索尔杰尔双模设定下 Koszul 对偶性和鲁奎耶复形实现的新证明。

ABSTRACT

We study an analogue of the Achar-Riche "mixed modular derived category" for moment graphs. In particular, given a Coxeter group $W$ and a reflection faithful representation $\mathfrak{h}$, we introduce a category that plays the role of Schubert-stratified mixed modular perverse sheaves on "the flag variety associated to $(W, \mathfrak{h})$." We show that this Soergel-theoretic generalization of graded category $\mathcal{O}$ is graded highest weight.

研究动机与目标

• 开发时刻图的混合模形式导出范畴，将阿查尔-里希的框架从几何旗流形推广至更一般情形。
• 通过索尔杰尔理论推广分次范畴 O 的方式，定义 Bruhat 时刻图上的构造性混合 perverse 她aves 类别。
• 证明该类别为分次最高权，推广阿查尔-里希在旗流形上的结果。
• 通过时刻图与索尔杰尔双模，为研究半单群的模表示提供组合基础。

提出的方法

• 即使时刻图 $ \fancyscript{G} $ 不具几何起源，也通过 Braden–MacPherson 她aves 的有界同伦范畴构造混合导出范畴 $ D^{\text{mix}}(\fancyscript{G}) $。
• 利用时刻图的组合结构定义标准与余标准 sheaves，推广 Schubert 分层。
• 应用重组结构在 $ D^{\text{mix}}(\fancyscript{G}) $ 上定义 perverse t-结构，其心为构造性混合 perverse 她aves 的阿贝尔范畴 $ \fancyscript{P}^{\text{mix}}_c(\fancyscript{B}) $。
• 通过 BMP–索尔杰尔双模等价，建立等价 $ D^{\text{mix}}(\fancyscript{B}) \to K^b\text{SBim} $，将几何与表示理论联系起来。
• 利用分次最高权结构证明相关代数 $ A^{\text{proj}} $ 与 $ A^{\text{parity}} $ 的 Koszul 对偶性，表明二者均为 Koszul 且互为对偶。
• 将 Rouquier 复形实现为 $ K^b\text{BMP} \to K^b\text{SBim} $ 等价下的标准与余标准 sheaves 的像，从而恢复其 braid 关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 阿查尔-里希的混合模形式导出范畴能否推广至无几何起源的时刻图？
• RQ2 Bruhat 时刻图上构造性混合 perverse 她aves 的类别是否为分次最高权？
• RQ3 在此设定下，Rouquier 复形与标准与余标准 sheaves 的权过滤有何关系？
• RQ4 由时刻图范畴导出的投影代数与奇偶代数之间的 Koszul 对偶关系为何？
• RQ5 阿查尔-里希工作中使用的重组结构能否推广至时刻图？

主要发现

• 在 Bruhat 时刻图 $ \fancyscript{B} $ 上的构造性混合 perverse 她aves 类别 $ \fancyscript{P}^{\text{mix}}_c(\fancyscript{B}) $ 为分次最高权，推广了阿查尔-里希在旗流形上的结果。
• 混合导出范畴 $ D^{\text{mix}}(\fancyscript{B}) $ 通过 BMP–索尔杰尔等价与有界同伦范畴 $ K^b\text{SBim} $ 等价。
• 与 $ \fancyscript{P}^{\text{mix}}_c(\fancyscript{B}) $ 中投影对象相关的代数 $ A^{\text{proj}} $ 为 Koszul，且与奇偶 sheaves 相关的代数 $ A^{\text{parity}} $ 互为对偶。
• Rouquier 复形 $ F_w $ 与 $ E_w $ 同构于 $ K^b $-实现下的标准与余标准 sheaves 的像，即 $ K^b\text{BMP} \to K^b\text{SBim} $ 等价。
• 同调复形 $ \bigoplus_n \text{Hom}_{K^b\text{SBim}}(F_x, E_w\{n\}[i]) $ 同构于 $ R $ 当且仅当 $ x=w $ 且 $ i=0 $，否则为零，从而恢复 Rouquier 公式。