[论文解读] Mod p Hecke algebras and dual equivariant cohomology I: the case of $GL_2$

Cédric Pépin, Tobias Schmidt|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文证明了在 $p$-进域上 $GL_2$ 的模 $p$ 的 pro-$p$ Iwahori-Hecke 代数的二维超奇异不可约模，可通过在旗簇 $\mathbb{P}^1_{\overline{\mathbb{F}}_p}$ 上的 $\widehat{GL}_2$-等变 $K$-理论与上同调的子商形式实现，其基础为通过 $\mathbf{q}=0$ 处的 Demazure 算子构造的 Hecke 代数的忠实作用，从而实现了 $GL_2$ 的模 $p$ 局部 Langlands 对应。该构造将 Hecke 代数的中心与一点的等变 $K$-理论相联系，并从超奇异 $\mathcal{H}^{(1)}$-模到 $k((t))$ 上的平展 $(\varphi,\Gamma)$-模建立了全纯函子，诱导出与二维伽罗瓦表示之间的双射关系。

ABSTRACT

Let $F$ be a p-adic local field and $G=GL_2(F)$. Let $\\mathcal{H}^{(1)}$ be the pro-p Iwahori-Hecke algebra of $G$ with coefficients in an algebraic closure of $\\mathbb{F}_p$. We show that the supersingular irreducible $\\mathcal{H}^{(1)}$-modules of dimension 2 can be realized through the equivariant cohomology of the flag variety of the mod p Langlands dual group of $G$.

研究动机与目标

• 将 $p$-进域上 $GL_2$ 的二维超奇异不可约 $\mathcal{H}^{(1)}$-模实现为 Langlands 对偶群 $\widehat{GL}_2$ 的旗簇的等变上同调不变量的子商形式。
• 在 $\mathbb{P}^1_{\overline{\mathbb{F}}_p}$ 的 $\widehat{GL}_2$-等变 $K$-理论上构造模 $p$ Iwahori-Hecke 代数 $\mathcal{H}$ 的忠实作用，扩展经典 $\mathbf{q}=0$ 处的 Demazure 算子。
• 建立从超奇异 $\mathcal{H}^{(1)}$-模范畴到 $k((t))$ 上平展 $(\varphi,\Gamma)$-模范畴的全纯函子，从而实现 $GL_2$ 的模 $p$ 局部 Langlands 对应。
• 证明 Hecke 代数 $\mathcal{H}$ 的中心同构于基环，通过将作用与基环识别而实现。

提出的方法

• 作者通过代数的表示和将 $\mathbf{q}=0$ 处的 Demazure 算子扩展，构造了 $K^{\widehat{GL}_2}(\mathbb{P}^1_{\overline{\mathbb{F}}_p})_{\overline{\mathbb{F}}_p}$ 上自然的 $\mathcal{H}$-作用。
• 他们定义了在 $\mathbf{q}=0$ 处的扩展 Demazure 表示 $\mathscr{A}_{\mathbb{F}_p}^{\operatorname{nil}}(\mathbf{q})$，并证明其忠实性，从而将中心 $Z(\mathcal{H})$ 与 $K^{\widehat{GL}_2}(\text{pt})_{\overline{\mathbb{F}}_p}$ 相关联。
• 该构造涉及一个扭曲表示 $\mathscr{A}_{2,\mathbb{F}_p}$，其通过在 $\Delta(M)^*$ 上赋予 $k[[t]][\varphi,\Gamma]$-模结构，捕捉了超奇异模的结构。
• 他们利用 $\Gamma$-作用在商 $\Delta(M) = (k[[t]][\varphi] \otimes_{k[[t]]} M)/\nabla(M)$ 上，定义了一个具有权重 $(k_0, k_1)$ 的挠标准循环模，其与伽罗瓦表示通过局部类域理论相联系。
• 关键联系通过函子 $M \mapsto \Delta(M)^* \otimes_{k[[t]]} k((t))$ 建立，该函子给出一个二维平展 $(\varphi,\Gamma)$-模，且被证明是全纯的。
• 通过伽罗瓦与 Hecke 设置中权重与中心特征标的比较，证明了逆对应 $\rho \mapsto \mathcal{M}(\rho)$ 可恢复原始的 $\mathcal{H}^{(1)}$-模。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 $GL_2$ 的二维超奇异不可约 $\mathcal{H}^{(1)}$-模实现为 $\widehat{GL}_2$-等变上同调理论在旗簇 $\mathbb{P}^1_{\overline{\mathbb{F}}_p}$ 上的子商形式？
• RQ2 经典 $\mathbf{q}=0$ 处的 Demazure 算子能否扩展为模 $p$ Iwahori-Hecke 代数 $\mathcal{H}$ 在 $K^{\widehat{GL}_2}(\mathbb{P}^1_{\overline{\mathbb{F}}_p})_{\overline{\mathbb{F}}_p}$ 上的忠实作用？
• RQ3 是否存在从超奇异 $\mathcal{H}^{(1)}$-模范畴到 $k((t))$ 上平展 $(\varphi,\Gamma)$-模范畴的全纯函子？
• RQ4 在局部 Langlands 对应下，超奇异 $\mathcal{H}^{(1)}$-模的中心特征标与权重数据如何与相应的伽罗瓦表示相关联？

主要发现

• 模 $p$ Iwahori-Hecke 代数 $\mathcal{H}$ 在 $K^{\widehat{GL}_2}(\mathbb{P}^1_{\overline{\mathbb{F}}_p})_{\overline{\mathbb{F}}_p}$ 上的作用唯一地从 $\mathbf{q}=0$ 处的 Demazure 算子扩展而来，且为忠实作用。
• 中心 $Z(\mathcal{H})$ 同构于 $K^{\widehat{GL}_2}(\text{pt})_{\overline{\mathbb{F}}_p}$，通过 Hecke 作用与基环的识别，建立了自然同构。
• 函子 $M \mapsto \Delta(M)^* \otimes_{k[[t]]} k((t))$ 是全纯的，将超奇异 $\mathcal{H}^{(1)}$-模映射到二维平展 $(\varphi,\Gamma)$-模。
• 对应关系 $M \mapsto V(M)$ 在不可约二维 $\mathcal{H}^{(1)}$-模与 $\operatorname{Gal}(\overline{F}/F)$ 在 $\overline{\mathbb{F}}_p$ 上的不可约二维表示之间诱导出双射。
• 对于伽罗瓦表示 $\rho = \operatorname{ind}(\omega_{2f}^h)$ 且满足 $b=1, i=0$ 的情形，相应的 $\mathcal{H}^{(1)}$-模 $M$ 满足 $\lambda(\operatorname{diag}(x_1,x_2)) = x_2^{h-1}$，与中心特征标一致，从而确认了逆对应 $\rho \mapsto \mathcal{M}(\rho)$。
• $k[[t]][\varphi,\Gamma]$-模 $\Delta(M)$ 具有权重 $(k_0, k_1) = (h-1, q-h)$，且 $\Delta(M)^*$ 中的 $\psi$-稳定格被证明为 $D^\sharp$，从而确认了该模的结构。