[论文解读] Models of Lubin-Tate spectra via Real bordism theory

Agnès Beaudry, Michael A. Hill+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 30被引用 5

一句话总结

该论文利用实 bordism $MU_{\mathbb{R}}$ 的范数导出的等变形式群律，构建了在高度 $h = 2^{n-1}m$ 处的 $C_{2^n}$-等变实定向谱的 Lubin-Tate 模型。它给出了这些谱的系数环上 $C_{2^n}$-作用的显式公式，并证明了这些谱的同伦固定点在 $K(h)$-局部化下与范数化实 Brown-Peterson 谱的截断局部化等价，从而为实 $K$-理论提供了更高色阶的类比。

ABSTRACT

We study certain formal group laws equipped with an action of the cyclic group of order a power of $2$. We construct $C_{2^n}$-equivariant Real oriented models of Lubin-Tate spectra $E_h$ at heights $h=2^{n-1}m$ and give explicit formulas of the $C_{2^n}$-action on their coefficient rings. Our construction utilizes equivariant formal group laws associated with the norms of the Real bordism theory $MU_{\mathbb{R}}$, and our work examines the height of the formal group laws of the Hill-Hopkins-Ravenel norms of $MU_{\mathbb{R}}$.

研究动机与目标

• 利用与实 bordism 谱 $MU_{\mathbb{R}}$ 的范数相关的等变形式群律，构建 $C_{2^n}$-等变 Lubin-Tate 谱。
• 通过在特征为 2 的有限域上具有 $C_{2^n}$-作用的形式群律的普遍变形，定义这些谱的系数环。
• 应用等变定向理论与局部化，将谱与范数 $N_{C_2}^{C_{2^n}}BP_{\mathbb{R}}$ 及其截断联系起来。
• 使用 Künneth 族谱序列分析与广义 Moore 谱的张量积的同伦群，并推导出 $K(h)$-局部平凡性。
• 对同伦固定点应用函子 $L_{K(h)}(-)$，并证明从 $L_{K(h)}(D^{-1}BP^{(\!(G)\!)}\langle m\rangle)$ 导出的映射在同伦群上是同构。
• 利用 $v_r$ 在 Künneth 族谱序列的 $E_2$-页上平凡作用的事实，证明所有同伦群均为 $v_r$-挠，从而蕴含 $K(h)$-局部收缩性。

提出的方法

• 利用与实 bordism 谱 $MU_{\mathbb{R}}$ 的范数相关的等变形式群律，构建 $C_{2^n}$-等变 Lubin-Tate 谱。
• 通过在特征为 2 的有限域上具有 $C_{2^n}$-作用的普遍形式群律变形，定义系数环。
• 应用等变定向理论与局部化，将谱与范数 $N_{C_2}^{C_{2^n}}BP_{\mathbb{R}}$ 及其截断联系起来。
• 使用 Künneth 族谱序列分析与广义 Moore 谱的张量积的同伦群，并推导出 $K(h)$-局部平凡性。
• 对同伦固定点应用函子 $L_{K(h)}(-)$，并证明从 $L_{K(h)}(D^{-1}BP^{(\!(G)\!)}\langle m\rangle)$ 导出的映射在同伦群上是同构。
• 利用 $v_r$ 在 Künneth 族谱序列的 $E_2$-页上平凡作用的事实，证明所有同伦群均为 $v_r$-挠，从而蕴含 $K(h)$-局部收缩性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构造在高度 $h = 2^{n-1}m$ 处的 $C_{2^n}$-等变实定向 Lubin-Tate 谱模型？
• RQ2 此类 Lubin-Tate 谱的系数环上 $C_{2^n}$-作用的显式公式是什么？
• RQ3 范数 $N_{C_2}^{C_{2^n}}BP_{\mathbb{R}}$ 的截断的色阶高度是多少？
• RQ4 Lubin-Tate 谱的同伦固定点谱与范数化实 Brown-Peterson 谱的局部化截断之间有何关系？
• RQ5 Lubin-Tate 谱的同伦固定点的 $K(h)$-局部化能否被识别为范数谱的局部化商？

主要发现

• Lubin-Tate 谱 $E(k, \Gamma_h)$ 的系数环上的 $C_{2^n}$-作用被明确描述为对 $C_{2^n}$ 的诱导符号表示的若干个副本的对称代数的周期化完成。
• Lubin-Tate 谱 $E(k, \Gamma_h)$ 的同伦固定点在 $K(h)$-局部下与 $L_{K(h)}(D^{-1}BP^{(\!(G)\!)}\langle m\rangle)$ 等价，其中 $G = C_{2^n}$。
• $i_e^* D^{-1}BP^{(\!(G)\!)}\langle m\rangle$ 的 $K(h)$-局部化同构于同伦固定点 $i_e^* E(k, \Gamma_h)^{hC(k,m)}$，在 $K(h)$-局部范畴中建立了关键等价性。
• 族谱序列论证表明，$v_r$ 在 $X \wedge_{MU} MU/(v_0^{j_0}, \ldots, v_{r-1}^{j_{r-1}})$ 的 Künneth 族谱序列的 $E_2$-页上平凡作用，这意味着所有同伦群均为 $v_r$-挠，因此 $K(h)$-局部收缩。
• $Künneth$ 族谱序列的 $E_2$-页是 $(\pi_*X)/(v_0^{j_0}, \ldots, v_{r-1}^{j_{r-1}})$ 上的模，且由于 $v_r \in (v_0, \ldots, v_{r-1})$，可得 $v_r^q$ 在 $E_2$-页上为零，其中 $q = \sum j_i$，从而在同伦群中出现 $v_r$-挠。
• $i_e^* BP^{(\!(G)\!)} \to i_e^* E(k, \Gamma_h)^{hC(k,m)}$ 的映射因子化为 $i_e^* D^{-1}BP^{(\!(G)\!)}\langle m\rangle$，且在 $K(h)$-局部化下的诱导映射在同伦群上是同构。