[论文解读] Moderate Deviation Principle for dynamical systems with small random perturbation

Yutao Ma, Ran Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文为小噪声随机微分方程（SDE）在 $\mathbb{R}^d$ 中的解建立了中等偏差原理（MDP），扩展了弗里德林-温茨ell的大偏差理论。通过分析在噪声强度 $\sqrt{\varepsilon}$ 既不趋于零也非过大的标度下 $X^\varepsilon_t$ 的渐近行为，作者推导出 MDP 速率函数的变分公式，从而在大偏差与高斯波动之间提供了更精细的近似。

ABSTRACT

Consider the stochastic differential equation in $ r^d$ dX^{\e}_t&=b(X^{\e}_t)dt+\sqrt{\e}σ(X^\e_t)dB_t X^{\e}_0&=x_0,\quad x_0\in r^d$ where $b: r^d o r^d$ is $C^1$ such that $ \leq C(1+|x|^2)$, $σ: r^d o \MM(d imes n)$ is locally Lipschitzian with linear growth, and $B_t$ is a standard Brownian motion taking values in $ r^n$. Freidlin-Wentzell's theorem gives the large deviation principle for $X^\e$ for small $\e$. In this paper we establish its moderate deviation principle.

研究动机与目标

• 将弗里德林-温茨尔的大偏差原理扩展至具有小随机扰动的随机动力系统的中等偏差情形。
• 分析当噪声强度 $\sqrt{\varepsilon}$ 以适度方式缩放时，解 $X^\varepsilon_t$ 的渐近行为，而非趋于零。
• 利用底层 SDE 的作用泛函，推导中等偏差速率函数的变分公式。

提出的方法

• 建立随机微分方程 $dX^\varepsilon_t = b(X^\varepsilon_t)dt + \sqrt{\varepsilon}\sigma(X^\varepsilon_t)dB_t$，其中漂移系数为 $C^1$ 类，扩散系数为局部利普希茨连续。
• 应用弱收敛方法，通过分析受控过程的收敛性，证明中等偏差原理。
• 利用多斯克-瓦拉达汉变分公式，以受控 SDE 的作用泛函表征速率函数。
• 通过紧致性和指数等价性处理漂移与扩散系数中的非线性性。
• 验证漂移 $b$ 和扩散 $\sigma$ 所需的条件，以确保解及其受控版本的存在性与正则性。
• 将中等偏差速率函数表示为涉及控制过程能量的变分问题的解。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有小噪声的 SDE 的中等偏差行为与大偏差和中心极限定理情形有何不同？
• RQ2 该类 SDE 中中等偏差的速率函数的确切形式是什么？
• RQ3 在给定的 $b$ 和 $\sigma$ 的正则性假设下，弱收敛方法能否被调整以推导中等偏差原理？
• RQ4 作用泛函的结构如何与中等偏差标度下的最优控制路径相关联？
• RQ5 在 $C^1$ 与线性增长条件下，$b$ 和 $\sigma$ 需满足何种条件，才能保证中等偏差原理的有效性？

主要发现

• 在给定的 $C^1$ 漂移与局部利普希茨扩散（具有线性增长）条件下，该 SDE 的中等偏差原理成立。
• 中等偏差原理的速率函数被表征为所有具有有限能量的绝对连续路径上作用泛函的下确界。
• 速率函数通过涉及受控 SDE 的变分公式表达，推广了弗里德林-温茨尔的框架。
• 通过紧致性与指数等价性建立了受控过程的收敛性，确保了 MDP 的有效性。
• 该结果在大偏差与高斯波动之间架起桥梁，为中等尺度偏差提供了更精细的近似。