[论文解读] Modular generalized Springer correspondence: an overview

Pramod N. Achar, Anthony Henderson+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 32被引用 5

一句话总结

本文通过使用 $β$-层与系数在 $β = \overline{\mathbb{Q}}_\ell$ 或 $\mathbb{F}_\ell$ 上的 perverse 层，发展了在正特征下对半单代数群的模特征层理论，提出了 Lusztig 广义 Springer 对应关系的模块化推广。在相当好的特征下，该研究证明了模诱导系列细化了特征零的诱导系列，并证明了由特征零的 cuspidal 对经模约化得到的 cuspidal 对具有洁净性。

ABSTRACT

This is an overview of our series of papers on the modular generalized Springer correspondence. It is an expansion of a lecture given by the second author in the Fifth Conference of the Tsinghua Sanya International Mathematics Forum, Sanya, December 2014, as part of the Master Lecture `Algebraic Groups and their Representations' Workshop honouring G. Lusztig. The material that has not appeared in print before includes some discussion of the motivating idea of modular character sheaves, and heuristic remarks about geometric functors of parabolic induction and restriction.

研究动机与目标

• 发展 Lusztig 广义 Springer 对应关系的模类比，模仿有限半单群的模表示。
• 将模特征层范畴 $\mathrm{Ch}(G,\Bbbk)$ 定义为 $\mathsf{Perv}_G(G,\Bbbk)$ 的子范畴，推广 Lusztig 的特征零理论。
• 理解在正特征下，特别是坏特征与相当好特征下，cuspidal 对的行为。
• 研究在 Lusztig 理论中至关重要的洁净性性质是否在模约化得到的 cuspidal 对上成立。
• 通过模 Springer 理论，建立有限半单群的分解矩阵的几何解释。

提出的方法

• 将 $\mathrm{Ch}(G,\Bbbk)$ 定义为 $\mathsf{Perv}_G(G,\Bbbk)$ 的全子范畴，即系数在 $\Bbbk = \overline{\mathbb{Q}}_\ell$ 或 $\mathbb{F}_\ell$ 上的 $G$-等变 perverse 层。
• 利用 Bernstein–Lunts 的等变导出范畴理论，定义 $D^b_G(G,\Bbbk)$，并将 $\mathrm{Ch}(G,\Bbbk)$ 构造为 $\mathsf{Perv}_G(G,\Bbbk)$ 的全子范畴。
• 应用抛物诱导与限制的几何函子，关联模与特征零的诱导系列。
• 通过 $\Bbbk$-层在幂零锥 $\mathscr{N}_G$ 上的限制，研究模 Springer 对应关系，特别关注在幂零轨道上支撑的 $\Bbbk$-层。
• 利用奇偶性层与分解定理的失效，分析正特征下非半单结构。
• 利用 [AHJR5, Lemma 2.5] 中的一般性原理，将 Mautner 关于洁净性的猜想约化至低秩与例外群。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用系数在 $\Bbbk = \mathbb{F}_\ell$ 上的 $\Bbbk$-层，形式化 Lusztig 广义 Springer 对应关系的模类比？
• RQ2 模 Springer 对应关系的诱导系列与特征零的诱导系列之间有何关系？
• RQ3 洁净性性质——$\mathcal{IC}(\mathscr{O},\mathcal{E})|_{\overline{\mathscr{O}}\setminus\mathscr{O}} = 0$——是否在模设置下的 cuspidal 对上成立？
• RQ4 在坏特征下（特别是当 $G$ 为 $B$、$C$ 或 $D$ 型且 $\ell = 2$ 时），cuspidal 对的行为如何？
• RQ5 导出范畴 $D^b_G(\mathscr{N}_G,\Bbbk)$ 是否能通过特征零的诱导系列诱导出正交分解？

主要发现

• 在相当好的特征下，模诱导系列细化了特征零的诱导系列，如定理 7.4 所示。
• 对于例外型的 simply connected quasi-simple 群，$\mathfrak{N}_{G,\Bbbk}$ 中 cuspidal 对的数量依赖于 $\ell$，其中 $E_8$ 在 $\ell = 2,3,5,\geq7$ 时分别有 10、8、5 和 1 个 cuspidal 对。
• 当 $\ell$ 为好素数且 $G$ 为半单且 simply connected 时，所有 cuspidal 对均由特征零的 cuspidal 对经模约化得到。
• 在类型 $A$、例外型以及某些经典群中，由特征零 cuspidal 对模约化得到的 cuspidal 对满足洁净性。
• 假设 Mautner 关于洁净性的猜想成立，则更粗的特征零诱导系列诱导出 $D^b_G(\mathscr{N}_G,\Bbbk)$ 的正交分解。
• 在坏特征下（例如 $\ell = 2$ 时 $B$、$C$、$D$ 型），每个 distinguished 幂零轨道 $\mathscr{O}$ 均导出一个 cuspidal 对 $(\mathscr{O},\underline{\Bbbk})$，如定理 7.3 所示。