[论文解读] Modular Springer correspondence, decomposition matrices and basic sets

Daniel Juteau|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 29被引用 7

一句话总结

本文通过证明Weyl群的分解数源于其在幂零锥上的等变 perverse 调和层的分解数，建立了模块化的 Springer 对应关系。该文从幂零奇点的光滑等价性推导出对称群的 James 行列移除法则，并为所有例外李型提供了显式的模块化 Springer 对应关系，包括完整的分解矩阵和小群的基本集。

ABSTRACT

The Springer correspondence makes a link between the characters of a Weyl group and the geometry of the nilpotent cone of the corresponding semisimple Lie algebra. In this article, we consider a modular version of the theory, and show that the decomposition numbers of a Weyl group are particular cases of decomposition numbers for equivariant perverse sheaves on the nilpotent cone. We give some decomposition numbers which can be obtained geometrically. In the case of the symmetric group, we show that James' row and column removal rule for the symmetric group can be derived from a smooth equivalence between nilpotent singularities proved by Kraft and Procesi. We give the complete structure of the Springer and Grothendieck sheaves in the case of $SL_2$. Finally, we determine explicitly the modular Springer correspondence for exceptional types.

研究动机与目标

• 通过模表示理论将 Springer 对应关系推广到正特征。
• 证明 Weyl 群的分解数是幂零锥上等变 perverse 调和层的分解数的特例。
• 从幂零奇点的几何光滑等价性推导出对称群的 James 行列移除法则。
• 为所有例外李型计算完整的模块化 Springer 对应关系，包括分解矩阵和基本集。

提出的方法

• 使用傅里叶-德利涅变换将幂零锥上的 perverse 调和层与 Weyl 群的表示联系起来。
• 应用分解定理，将 Springer 恢复下常数层的直接像分解为简单等变 perverse 调和层。
• 利用与幂零轨道上局部系统相关的交叠上同调复形，构造模块化 Springer 对应关系。
• 借助有理光滑性和 ℓ-光滑性分析奇点，并几何地计算分解数。
• 利用 Kraft 和 Procesi 关于幂零轨道闭包的光滑等价性结果，推导出对称群分解数的组合法则。
• 通过逐个分析和已知轨道数据，在所有良特征下计算了例外群的显式分解矩阵和基本集。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过幂零锥上的等变 perverse 调和层几何地定义模块化 Springer 对应关系？
• RQ2 Weyl 群的分解数在多大程度上是等变 perverse 调和层的分解数的特例？
• RQ3 能否从幂零奇点的几何光滑等价性推导出对称群的行与列移除法则？
• RQ4 例外李型的模块化 Springer 对应关系的完整分解矩阵和基本集是什么？
• RQ5 例外群的模块化 Springer 对应关系与它们在特征零情形下的对应关系有何不同？

主要发现

• 对称群的分解数在几何上被实现为幂零锥上等变 perverse 调和层的分解数。
• 对称群的 James 行列移除法则源自 Kraft 和 Procesi 建立的幂零奇点的光滑等价性。
• 对于 $SL_2$，显式计算了 Springer 层和 Grothendieck 层的完整结构，包括其分解为简单 perverse 调和层的形式。
• 所有例外型 $G_2$、$F_4$、$E_6$、$E_7$ 和 $E_8$ 的完整模块化 Springer 对应关系均已确定，所有良素数下的分解矩阵和基本集均已列成表格。
• 本文识别出 $E_8$ 的 Weyl 群模表示理论中的 84 个亏量为零的块，并表明缺失的配对 $(E_8(a_7), 11111)$ 对应于特征零 cuspidal 配对的模约化。
• 对 $E_8$ 的模块化 Springer 对应关系包含了所有良特征 $\ell = 2,3,5,7$ 下的轨道类型、局部系统和分解数的详细数据。