[论文解读] Modular Invariant Models of Leptons at Level 7

Gui-Jun Ding, Stephen F. King+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2020

Neutrino Physics Research参考文献 53被引用 9

一句话总结

本文首次基于有限模群 Γ7 ≅ PSL(2, Z7) 构建了模不变的味物理模型，该群具有 168 个元素，且同构于 Σ(168)。模型在层级 7 下构建，轻子质量与混合由 Γ7 的不可约表示下变换的模形式产生，其中在权 2 处存在 26 个线性无关的模形式（三重态、七重态及两个八重态），并通过 Weinberg 作用项或类型-I seesaw 机制推导出中微子质量的预测，仅以最少的假设实现与实验数据的一致，且无需引入味希格斯场。

ABSTRACT

We consider for the first time level 7 modular invariant flavour models where the lepton mixing originates from the breaking of modular symmetry and couplings responsible for lepton masses are modular forms. The latter are decomposed into irreducible multiplets of the finite modular group $Γ_7$, which is isomorphic to $PSL(2,Z_{7})$, the projective special linear group of two dimensional matrices over the finite Galois field of seven elements, containing 168 elements, sometimes written as $PSL_2(7)$ or $Σ(168)$. At weight 2, there are 26 linearly independent modular forms, organised into a triplet, a septet and two octets of $Γ_7$. A full list of modular forms up to weight 8 are provided. Assuming the absence of flavons, the simplest modular-invariant models based on $Γ_7$ are constructed, in which neutrinos gain masses via either the Weinberg operator or the type-I seesaw mechanism, and their predictions compared to experiment.

研究动机与目标

• 构建首个基于有限模群 Γ7 在层级 7 的模不变味物理模型，该群同构于 PSL(2, Z7)，具有 168 个元素。
• 为 Γ7 推导出权至 8 的所有模形式完整列表，识别其在不可约表示下的变换性质。
• 构建无味希格斯场的模型，使轻子质量与混合完全源于模不变性及模形式，避免使用辅助标量场。
• 将模型预测与实验测得的中微子混合角和质量差进行比较，中微子质量生成机制采用 Weinberg 作用项或类型-I seesaw 机制。

提出的方法

• 本文采用有限模群 Γ7 ≅ PSL(2, Z7)，一个非交换有限群，阶为 168，作为味对称性群。
• 利用 SageMath 代数系统计算层级 7 下权至 8 的所有线性无关模形式，将其分类为不可约表示：权 2 处为三重态、七重态及两个八重态。
• 通过模形式作为耦合项构建有效拉格朗日量，无需引入味希格斯场，从而保证在 Γ7 下的模不变性。
• 中微子质量通过维数为 5 的 Weinberg 作用项或类型-I seesaw 机制生成，后者涉及重右手中微子。
• 将模型预测与中微子混合角和质量分裂的实验数据进行对比验证。
• 系统地利用代数数论及 theta 函数与 Dedekind eta 函数之间的关系推导模形式，通过计算代数方法减少约束条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不引入味希格斯场的前提下，基于有限模群 Γ7 ≅ PSL(2, Z7) 在层级 7 构建模不变的味物理模型？
• RQ2 层级 7 下权至 8 的模形式完整谱系是什么？它们如何分解为 Γ7 不可约表示的直和？
• RQ3 此类模型能否仅通过模不变性及 Weinberg 作用项或类型-I seesaw 机制重现观测到的中微子混合模式与质量层次？
• RQ4 这些模型的预测与当前中微子混合角和质量分裂的实验数据在定量上如何比较？

主要发现

• 在权 2 处，Γ7 共有 26 个线性无关的模形式，分别变换为三重态 (3)、七重态 (7) 及两个八重态 (8a, 8b)，构成模型构建的完整基。
• 完整推导出权至 8 的模形式列表，包括权 10 的形式如 Y(10)3a、Y(10)3b、Y(10)3c、Y(10)3̄a 和 Y(10)3̄b，它们分别变换于 3 和 3̄ 表示下。
• 模型在无味希格斯场的前提下构建，轻子质量与混合完全由 Γ7 表示下变换的模形式生成。
• Weinberg 作用项与类型-I seesaw 机制均能给出与实验数据在混合角和质量分裂方面一致的中微子质量预测。
• 该模型在中微子 sector 预测了类 tribimaximal 的混合模式，精确 tribimaximality 的偏离源于模对称性自发破缺。
• 该框架仅需少数输入参数即可实现预测性味结构，成功验证了层级 7 模对称性在味物理中的可行性。