[论文解读] Modularity lifting results in parallel weight one and applications to the Artin conjecture: the tamely ramified case

Payman L Kassaei, Shu Sasaki+1 more|Research Portal (King's College London)|Apr 3, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用 3

一句话总结

本文在平行权一情形下，针对在 $p$ 处具有驯服分歧的伽罗华表示，建立了新的模形式提升定理，推广了此前在全实域上的结果。通过证明有限斜率过收敛赫尔蒂茨模形式在几乎覆盖特殊纤维的通用点区域的强力自动解析延拓，作者建立了 $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/F)$-表示的强Artin猜想的新情形，其射影像是 $A_5$ 且 5 在 $F$ 中无分歧。关键贡献在于一个精细化的解析延拓结果，使得在驯服分歧情形下能够实现模形式提升。

ABSTRACT

We extend the modularity lifting result of the arXiv:1111.2804 to allow Galois representations with some ramification at p. We also prove modularity mod 2 and 5 of certain Galois representations. We use these results to prove many new cases of the strong Artin conjecture over totally real fields in which 5 is unramified. As an ingredient of the proof, we provide a general result on the automatic analytic continuation of overconvergent p-adic Hilbert modular forms of finite slope which substantially generalizes a similar result in arXiv:1111.2804.

研究动机与目标

• 将模形式提升结果推广至全实域上平行权一、在 $p$ 处具有驯服分歧的伽罗华表示。
• 在射影像是 $A_5$ 且 5 在 $F$ 中无分歧的 $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/F)$-表示情形下，建立强Artin猜想的新情形。
• 证明有限斜率过收敛赫尔蒂茨模形式的精确解析延拓结果，其延拓区域超越了以往的范围。
• 通过分析希尔伯特模簇特殊纤维中各层及其交点，克服模 $p$ 特殊纤维中的几何障碍。
• 构造一组相容的过收敛特征形式与特征，通过自守下降实现其下降至经典形式。

提出的方法

• 证明每个有限斜率过收敛赫尔蒂茨模形式均可解析延拓至一个区域 $\Sigma$，该区域定义为希尔伯特模簇特殊纤维中余维 0 和 1 层的通用点区域的管状邻域之并。
• 利用 Atkin-Lehner 对合 $w$ 的粘合论证，将形式从 $\Sigma$ 延拓至 $\Sigma \cup w^{-1}(\Sigma)$，并通过层交点的几何结构控制连通分支。
• 利用 [15] 中的结果分析特殊纤维 $\overline{Y}$ 的分层结构，确保 $\Sigma \cup w^{-1}(\Sigma)$ 的补集在模 $p$ 下余维至少为 2，从而可应用 Koecher 原理。
• 应用刚性解析 Koecher 原理，将粘合后的形式延拓至整个希尔伯特模簇 $\mathfrak{Y}_{\rm rig}$，从而证明其经典性。
• 构造一组过收敛特征形式 $\{f_T\}$ 及其关联特征 $\chi_T$，使得 $\rho_{f_T} = \rho_\iota|_{\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/L)} \otimes \chi_T^{-1}$，其中 $L/F$ 为有限可解扩张，利用模形式提升定理。
• 通过自守下降证明原始伽罗华表示 $\rho_\iota$ 可来自 $\mathrm{Res}_{L/\mathbb{Q}}GL_{2,L}$ 上的平行权一经典希尔伯特模形式，从而也来自 $\mathrm{Res}_{F/\mathbb{Q}}GL_{2,F}$ 上的此类形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将平行权一的模形式提升定理推广至全实域上在 $p$ 处具有驯服分歧的伽罗华表示，超越无分歧情形？
• RQ2 有限斜率过收敛赫尔蒂茨模形式可被解析延拓至的最优区域是什么？与以往结果相比如何？
• RQ3 解析延拓与粘合技术能否被调整以处理全实域 $F$ 中全正单位元的非平凡作用？
• RQ4 是否存在一个 $p$-进伽罗华表示，其射影像是 $A_5$ 且在 $p=5$ 处驯服分歧，是否意味着其在 5 无分歧的全实域上是模形式的？
• RQ5 能否通过 $p$-进解析延拓与下降技术验证此类表示的强Artin猜想？

主要发现

• 本文建立了新的自动解析延拓结果：每个有限斜率过收敛赫尔蒂茨模形式均可延拓至一个区域 $\Sigma$，该区域为希尔伯特模簇特殊纤维中余维 0 和 1 层的通用点区域的管状邻域之并。
• 该区域 $\Sigma$ 显著大于以往的延拓区域，且基于 [15] 中研究的特殊纤维分层结构定义，从而支持更强的提升定理。
• 作者证明了在模 $p$ 下，$\mathfrak{Y}_{\rm rig}$ 中 $\Sigma \cup w^{-1}(\Sigma)$ 的补集余维至少为 2，从而可应用 Koecher 原理将形式延拓至整个空间。
• 利用此解析延拓，作者证明了在 $p=5$ 处具有 $A_5$ 射影像与驯服分歧的某些伽罗华表示是模形式的，从而在 5 无分歧的全实域上证明了强Artin猜想的新情形。
• 模形式提升结果被用于证明模 5 的残余表示 $\overline{\rho}_\iota$ 来自一个平行权一的经典希尔伯特模形式，通过有限可解基变换与下降实现。
• 本文确认了此类表示的Artin $L$-函数是整函数，如强Artin猜想所预测，方法是将表示实现为平行权一的全纯希尔伯特尖形式。