[论文解读] Unramifiedness of Galois representations attached to weight one Hilbert modular eigenforms mod p

Mladen Dimitrov, Gabor Wiese|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文证明了，对于在 $\overline{\mathbb{F}}_p$ 上的平行权 1 且水平度与 $p$ 互素的希尔伯特模形式，其附带的伽罗瓦表示在所有整除 $p$ 的素点 $\mathfrak{p}$ 处均为无挠的，即使该形式无法上移至特征 0 的情形。证明方法结合了 $p$-进与模 $p$ 的 Hecke 算子、$q$-展开技术，以及通过假设 $T_\mathfrak{p}^{(p)}$ 在某模块上作用非半单而导出矛盾的论证，最终借助 Nakayama 引理与表示论的下降方法确立了无挠性。

ABSTRACT

The main result of this article states that the Galois representation attached to a Hilbert modular eigenform defined over F_p^bar of parallel weight 1 and level prime to p is unramified above p. This includes the important case of eigenforms that do not lift to Hilbert modular forms in characteristic 0 of parallel weight 1. The proof is based on the observation that parallel weight 1 forms in characteristic p embed into the ordinary part of parallel weight p forms in two different ways per prime dividing p, namely via `partial' Frobenius operators.

研究动机与目标

• 建立附属于 $\overline{\mathbb{F}}_p$ 上平行权 1 的希尔伯特模形式的伽罗瓦表示在整除 $p$ 的素点处的无挠性，即使该形式无法上移至特征 0。
• 将 Serre 型模性猜想推广至全实数域，涵盖完整的分歧信息，特别是针对权 1 形式。
• 构造并分析 Hecke 算子 $T_\mathfrak{p}^{(k)}$ 在模 $p$ 希尔伯特模形式空间上的作用，尤其关注 $q$-展开与通常/通常型区域的语境。
• 通过提供 $\operatorname{PGL}_2(\mathbb{F}_p)$-扩张的实例，解决反伽罗瓦问题中的关键障碍，这些扩张在 $p$ 处无挠，但通常难以显式构造。

提出的方法

• 通过 $q$-展开数据与非通常区域的几何输入，构造作用于模 $p$ 上平行权 $k \geq 1$ 且水平度与 $p$ 互素的希尔伯特模形式的 Hecke 算子 $T_\mathfrak{p}^{(k)}$。
• 利用 $q$-展开数据唯一确定 $T_\mathfrak{p}^{(k)}$ 的事实，实现其在 adellic $q$-展开上的显式计算。
• 通过反证法：假设 $T_\mathfrak{p}^{(k)}$ 属于 Hecke 代数 $\mathbb{T}'_k \otimes \overline{\mathbb{F}}_p$，将导致 $T_\mathfrak{p}^{(p)}$ 在某模块 $W_\mathfrak{p}$ 上作用半单，与命题 4.1(c) 矛盾。
• 在 $G_F$-模 $\mathcal{M}$ 上应用 Nakayama 引理，证明无挠商模 $\mathcal{M}^- / \mathfrak{m}'\mathcal{M}^-$ 的维数为 2，从而推出伽罗瓦表示 $\rho_f$ 在 $\mathfrak{p}$ 处无挠。
• 将伽罗瓦表示模 $\mathfrak{m}'$ 化，并利用 $\operatorname{Frob}_\mathfrak{p}$ 在 $\mathcal{M}/\mathfrak{m}'\mathcal{M}$ 上的作用结构，证明其作用由具有相等特征值的矩阵实现，从而确认无挠性。
• 依赖于 Emerton、Reduzzi 与 Xiao [17] 的几何结果，该结果允许在本构造中忽略非通常区域。

实验结果

研究问题

• RQ1 在形式无法上移至特征 0 的情形下，附属于 $\overline{\mathbb{F}}_p$ 上平行权 1 的希尔伯特模形式的伽罗瓦表示是否在整除 $p$ 的素点 $\mathfrak{p}$ 处仍保持无挠？
• RQ2 能否通过 $q$-展开显式描述 Hecke 算子 $T_\mathfrak{p}^{(k)}$ 在模 $p$ 希尔伯特模形式上的作用，特别是在 $k=p$ 的情形？
• RQ3 $T_\mathfrak{p}^{(p)}$ 在相关模块 $W_\mathfrak{p}$ 上的作用是否半单？这对关联伽罗瓦表示的结构有何含义？
• RQ4 能否从 $\mathcal{M}^-$ 在 Hecke 代数 $\mathbb{T}'_k$ 上的非自由性推导出 $\rho_f$ 在 $\mathfrak{p}$ 处的无挠性？
• RQ5 若 $\rho_f$ 在 $\mathfrak{p}$ 处非通常（表现为 $T_\mathfrak{p}^{(p)}$ 作用非半单），是否仍可保持无挠？这与伽罗瓦表示的结构如何调和？

主要发现

• 附属于 $\overline{\mathbb{F}}_p$ 上平行权 1 且水平度与 $p$ 互素的希尔伯特模形式的伽罗瓦表示 $\rho_f$，在所有整除 $p$ 的素点 $\mathfrak{p}$ 处均为无挠，即使该形式无法上移至特征 0。
• $T_\mathfrak{p}^{(k)}$ 对希尔伯特模形式 $q$-展开的作用显式给出为：$a((0), T_\mathfrak{p}^{(k)}f) = a((0),f)[\mathfrak{p}] + \operatorname{N}_{F/\mathbb{Q}}(\mathfrak{p})^{k-1} a((0),\langle\mathfrak{p}\rangle f)[\mathfrak{p}^{-1}]$，且对更高阶项亦有类似表达式。
• 矛盾源于 $T_\mathfrak{p}^{(p)}$ 在 $W_\mathfrak{p}$ 上作用非半单，而 $\mathbb{T}'$ 作用为特征标，故 $T_\mathfrak{p}^{(k)}$ 不可能属于 $\mathbb{T}'_k \otimes \overline{\mathbb{F}}_p$，此为论证的关键。
• 无挠商模 $\mathcal{M}^- / \mathfrak{m}'\mathcal{M}^-$ 在 $\overline{\mathbb{F}}_p$ 上维数为 2，这意味着 $\mathcal{M}/\mathfrak{m}'\mathcal{M} \simeq \mathcal{M}^- / \mathfrak{m}'\mathcal{M}^-$，从而推出 $\rho_f$ 在 $\mathfrak{p}$ 处无挠。
• $\operatorname{Frob}_\mathfrak{p}$ 在 $\mathcal{M}/\mathfrak{m}'\mathcal{M}$ 上的作用由矩阵 $\begin{pmatrix} \alpha_\mathfrak{p} & * \\ 0 & \alpha_\mathfrak{p} \end{pmatrix}$ 表示，确认其迹为 $2\alpha_\mathfrak{p}$，与无挠性一致。
• 该表示 $\rho_f$ 在 $\mathfrak{p}$ 处非通常，因为无挠商模 $\mathcal{M}^-$ 不是 $\mathbb{T}'_k$ 上的自由模，表明必须借助 $U$-算子才能使其成为通常形式。