[论文解读] Moduli of objects in dg-categories

Bertrand Toën, Michel Vaquié|Mar 14, 2005

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用 7

一句话总结

本文证明了在饱和dg-范畴$T$的三角范畴$[T]$中，存在一个局部几何的$D^{-}$-堆$\mathcal{M}_T$，用于分类紧致对象，并在有限性条件下证明其代数性。主要贡献是通过dg-提升构建三角范畴中对象的代数模空间的一般框架，其应用包括光滑射影概形上的完美复形及有限quiver的表示。

ABSTRACT

To any dg-category $T$ (over some base ring $k$), we define a $D^{-}$-stack $\mathcal{M}_{T}$ in the sense of \cite{hagII}, classifying certain $T^{op}$-dg-modules. When $T$ is saturated, $\mathcal{M}_{T}$ classifies compact objects in the triangulated category $[T]$ associated to $T$. The main result of this work states that under certain finiteness conditions on $T$ (e.g. if it is saturated) the $D^{-}$-stack $\mathcal{M}_{T}$ is locally geometric (i.e. union of open and geometric sub-stacks). As a consequence we prove the algebraicity of the group of auto-equivalences of a saturated dg-category. We also obtain the existence of reasonable moduli for perfect complexes on a smooth and proper scheme, as well as complexes of representations of a finite quiver.

研究动机与目标

• 为具有有限型dg-提升的三角范畴中的对象构造一个几何模空间。
• 通过dg-范畴和高阶堆，解决三角范畴在模理论中的技术局限性。
• 建立饱和dg-范畴中紧致对象模空间的代数性。
• 将经典模构造（如表示或完美复形）推广至导出和高阶范畴设置。
• 通过$D^{-}$-堆证明模函子的可表示性，确保其几何性质和有限性。

提出的方法

• 定义一个$D^{-}$-堆$\mathcal{M}_T$，用于分类dg-范畴$T$的$T^{\mathrm{op}}$-dg-模。
• 利用紧生成模型范畴和dg-范畴的理论构造模函子。
• 通过证明$\mathcal{M}_T$是若干在[HAGII]意义下几何的开子堆的并集，建立其几何性。
• 应用有限性条件（如饱和性）以确保$\mathcal{M}_T$是局部几何且强有限表现的。
• 利用导出Hom和上同调维数有界性，通过具有紧支集的函数$\nu: \mathbb{Z} \to \mathbb{N}$控制模空间。
• 为光滑射影概形上的完美复形和有限quiver的表示，显式构造模空间$\mathbb{R}\underline{Perf}(X)^\nu$和$\mathbb{R}\underline{Parf}(Q)^\nu$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当三角范畴允许dg-提升时，能否代数地构造其紧致对象的模空间？
• RQ2 在何种条件下，dg-范畴中对象的模$D^{-}$-堆是局部几何且有限表现的？
• RQ3 如何证明饱和dg-范畴的自等价群是代数的？
• RQ4 光滑射影概形上完美复形模空间的导出结构是什么？
• RQ5 能否从模堆的几何性推导出完美复形族的有界性准则？

主要发现

• 当$T$为饱和时，分类$T^{\mathrm{op}}$-dg-模的$D^{-}$-堆$\mathcal{M}_T$是局部几何的，从而证明其代数性。
• 对于光滑射影概形$X$，模堆$\mathbb{R}\underline{Perf}(X)^\nu$对任意具有紧支集的$\nu$都是$n$-几何且强有限表现的。
• 通过上同调维数有界性建立了$X$上完美复形族的有界性准则：对$j \in [0,d]$，有$\dim_k \mathbb{H}^k(X, E_i(j)) \leq \nu(k)$。
• 有限quiver$Q$的伪完美复形表示模堆$\mathbb{R}\underline{Parf}(Q)$是局部几何且局部有限型的。
• 在$\mathbb{R}\underline{Parf}(Q)$中点$E$处的切复形同构于$\mathbb{R}\underline{Hom}(E,E)[1]$，反映了导出形变理论。
• 饱和dg-范畴的自等价群是代数的，因其由一个局部几何的$D^{-}$-堆表示。