[论文解读] Moduli of rank 4 symplectic bundles over a curve of genus 2

George H. Hitching|ArXiv.org|Sep 2, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用 3

一句话总结

该论文通过一个由秩2、度数为-1的向量丛 $E$ 索引的5维射影空间族 $\mathbb{P}^5_E$，构建了亏格2曲线上的秩4辛丛的半稳定模空间 $\mathcal{M}_2$ 的一个通用有限覆盖。关键结果是该覆盖的次数为24，从而为 $\mathcal{M}_2$ 提供了几何参数化，并表明其双尔加维数为 $-\infty$。该构造依赖于辛扩张以及向量丛上辛结构的上同调判别法。

ABSTRACT

Let X be a complex projective curve which is smooth and irreducible of genus 2. The moduli space M_2 of semistable symplectic vector bundles of rank 4 over X is a variety of dimension 10. After assembling some results on vector bundles of rank 2 and odd degree over X, we construct a generically finite cover of M_2 by a family of 5-dimensional projective spaces, and outline some applications.

研究动机与目标

• 构建亏格2曲线上秩4辛丛的半稳定模空间 $\mathcal{M}_2$ 的几何参数化。
• 将已知的 $\mathcal{M}_1$ 描述（通过 $\mathbb{P}H^1(X, L^{-2})$）推广至秩4情形。
• 通过分析奇数度数秩2丛的辛扩张，理解 $\mathcal{M}_2$ 的结构。
• 通过构造的覆盖，确立 $\mathcal{M}_2$ 是有理链连通的且双尔加维数为 $-\infty$。
• 为研究 $\mathcal{M}_2$ 上行列式线丛的theta除子与基点集提供一个框架。

提出的方法

• 利用向量丛扩张 $0 \to E \to W \to E^* \to 0$ 在其扩张类属于 $H^1(X, \mathrm{Sym}^2 E)$ 时可赋予辛结构的判别准则。
• 构造一族5维射影空间 $\mathbb{P}^5_E \cong \mathbb{P}H^1(X, \mathrm{Sym}^2 E)$，其指标为 $E \in \mathcal{U}_X(2, -1)$，即秩2、度数为-1的半稳定丛的模空间。
• 从该族的总空间 $\mathbb{B}$ 到模空间 $\mathcal{M}_2$ 定义一个态射 $\Phi: \mathbb{B} \to \mathcal{M}_2$，利用辛扩张构造。
• 应用上同调与稳定性论证，证明态射 $\Phi$ 是次数为24的通用有限态射。
• 利用一般辛丛在 $\mathcal{M}_2$ 中仅有有限多个度数为-1的拉格朗日子丛的事实，确保纤维有限。
• 利用 $\mathbb{B}$ 的有理链连通性及 $\Phi$ 的满射性，推得 $\mathcal{M}_2$ 同样是有理链连通的且双尔加维数为 $-\infty$。

实验结果

研究问题

• RQ1 亏格2曲线上秩4辛丛的模空间 $\mathcal{M}_2$ 能否通过一族射影空间进行参数化？
• RQ2 由秩2、度数为-1的丛的辛扩张构造的通用有限覆盖 $\Phi: \mathbb{B} \to \mathcal{M}_2$ 的次数是多少？
• RQ3 此类覆盖的存在是否意味着 $\mathcal{M}_2$ 是有理链连通的且双尔加维数为 $-\infty$？
• RQ4 模空间 $\mathcal{M}_2$ 上行列式线丛 $\Xi$ 的基点集的性质如何与覆盖族的几何相关？
• RQ5 该构造能否推广至更高亏格的曲线，特别是偶数亏格，通过类似地考虑秩2丛的辛扩张？

主要发现

• 亏格2曲线上半稳定秩4辛丛的模空间 $\mathcal{M}_2$ 是一个10维的射影代数簇。
• 存在一个从一族5维射影空间 $\mathbb{P}^5_E$（以 $E \in \mathcal{U}_X(2, -1)$ 为指标）的总空间 $\mathbb{B}$ 到 $\mathcal{M}_2$ 的通用有限态射 $\Phi: \mathbb{B} \to \mathcal{M}_2$，其通用次数为24。
• 24次的来源在于：一般辛丛在 $\mathcal{M}_2$ 中恰好有24个不同的度数为-1的拉格朗日子丛。
• $\Phi$ 是满射且通用有限，且由于 $\mathbb{B}$ 是有理链连通的，因此 $\mathcal{M}_2$ 同样是有理链连通的且双尔加维数为 $-\infty$。
• 该构造为研究 $\mathcal{M}_2$ 上行列式线丛 $\Xi$ 的基点集提供了工具，其与 $4\Theta$ 除子的支集相关。
• 该方法提示：通过考虑秩2丛的度数为 $1-g$ 的辛扩张，可将此构造推广至更高亏格的曲线，特别是偶数亏格。