[论文解读] Moduli of theta-characteristics via Nikulin surfaces

Gavril Farkas, Alessandro Verra|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文证明了Nikulin曲面——即具有八个不相交有理曲线的特定2-可除除子的K3曲面——为$g \leq 7$，$g \neq 6$时的Prym模空间$Χ_g$提供了有理曲面参数化，并证明了8阶偶自旋曲线的模空间$\overline{\mathcal{S}}_8^+$的Kodaira维数为零，从而完成了对$g \leq 8$时$\overline{\mathcal{S}}_g^+$的双有理分类。这些结果扩展了K3曲面与Prym几何之间的类比，表明$\overline{\mathcal{S}}_g^+$的双有理类型由特殊K3曲面的存在性所决定。

ABSTRACT

We study moduli spaces of K3 surfaces endowed with a Nikulin involution and their image in the moduli space R_g of Prym curves of genus g. We observe a striking analogy with Mukai's well-known work on ordinary K3 surfaces. Many of Mukai's results have a very precise Prym-Nikulin analogue, for instance: (1) A general Prym curve from R_g is a section of a Nikulin surface if and only if g\leq 7, g eq 6. (2) R_7 has the structure of a Mori fibre space over the corresponding moduli space of polarized Nikulin surfaces. (3) In the case of genus next to maximal (g=6), the Prym-Nikulin locus in R_6 is an extremal divisor; the corresponding space of Nikulin surfaces has a Grassmannian GIT model. (4) The Prym-Nikulin locus in R_g can be characterized by extra syzygies of Prym-canonical curves. We then use these results to study the geometry of the moduli space S_g of even spin curves, with special emphasis on the transition case of S_8 which is a 21-dimensional Calabi-Yau variety.

研究动机与目标

• 将K3曲面与Nikulin曲面在曲线模空间与Prym簇的背景下进行类比。
• 通过确定$g = 8$时其Kodaira维数，完成对偶自旋曲线模空间$\overline{\mathcal{S}}_g^+$的双有理分类。
• 通过使用Nikulin曲面的统一参数化，证明当$g \leq 7$，$g \neq 6$时，Prym模空间$\mathcal{R}_g$为有理曲面。
• 确立位于Nikulin K3曲面上的曲线的模空间在$\mathcal{R}_g$中的作用，类似于K3曲面在$\mathcal{M}_g$中的作用。
• 证明$\overline{\mathcal{S}}_8^+$为一般型或有理曲面，从而解决$\overline{\mathcal{S}}_g^+$分类中最后缺失的情况。

提出的方法

• 构造极化Nikulin曲面模空间$\mathcal{F}_g^\mathfrak{N}$，其参数化三元组$(S, e, \mathcal{O}_S(C))$，其中$S$为具有八个不相交有理曲线的除子$N = N_1 + \cdots + N_8$的K3曲面，且$e = \frac{1}{2}N$。
• 定义$\mathcal{F}_g^\mathfrak{N}$上的$\mathbb{P}^g$-丛$\mathcal{P}_g^\mathfrak{N}$，其参数化对$(S, e, C)$，其中$C \subset S$为满足对所有$i$有$C \cdot N_i = 0$的光滑曲线，且$C$的亏格为$g$。
• 使用自然态射$\chi_g: \mathcal{P}_g^\mathfrak{N} \to \mathcal{R}_g$，将$(S, e, C)$发送至Prym曲线$[C, e_C]$，其中$e_C = e|_C$，并分析其支配性。
• 利用K3曲面上曲线的交比理论的几何约束，证明$\chi_g$是支配的当且仅当$g \leq 7$且$g \neq 6$。
• 通过一个双覆盖$f: S \to Q_0$（$Q_0$为二次曲面）构造$\overline{\mathcal{S}}_8^+$中的一族节点自旋曲线$R$，其分支除子由两条直线与两条圆锥曲线组成。
• 使用形变理论与在万有形变空间上的自同构作用计算$\overline{\mathcal{S}}_8^+$上的交数，证明$R \cdot \overline{\Theta}_{\mathrm{null}} = -1$，从而推出Kodaira维数为零。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些亏格$g$，Prym模空间$\mathcal{R}_g$可通过Nikulin曲面的统一参数化实现有理曲面化？
• RQ2 8阶偶自旋曲线模空间$\overline{\mathcal{S}}_8^+$的双有理类型为何？
• RQ3 位于Nikulin K3曲面上的曲线的存在性如何与$\overline{\mathcal{S}}_g^+$的双有理几何相关联？
• RQ4 $\overline{\mathcal{S}}_8^+$的Kodaira维数为何？其与$g \leq 7$及$g \geq 9$时的已知行为相比如何？
• RQ5 具有8-可除分支除子的K3曲面的双覆盖几何是否可用于在$\overline{\mathcal{S}}_g^+$上构造有效除子与曲线？

主要发现

• 态射$\chi_g: \mathcal{P}_g^\mathfrak{N} \to \mathcal{R}_g$是支配的当且仅当$g \leq 7$且$g \neq 6$，这意味着一般Prym曲线在$g \leq 7$，$g \neq 6$时位于某个Nikulin曲面上。
• $\mathcal{R}_g$在$g \leq 7$时为有理曲面，其有理曲面性源于$\mathcal{F}_g^\mathfrak{N}$上的$\mathbb{P}^g$-丛结构，而$\mathcal{F}_g^\mathfrak{N}$在$g \leq 6$时为有理曲面。
• $\overline{\mathcal{S}}_g^+$在$g \leq 7$时为有理曲面，在$g \geq 9$时为一般型，因此$\overline{\mathcal{S}}_8^+$是唯一尚未解决的情况。
• $\overline{\mathcal{S}}_8^+$的Kodaira维数为零，这是通过构造一个满足$R \cdot \overline{\Theta}_{\mathrm{null}} = -1$的$\overline{\mathcal{S}}_8^+$中的族$R$，并利用形变理论计算交数而证明的。
• 交数$R \cdot \beta_0 = 7$源于边界除子$B_0$在节点处的非Cartier性，其局部自同构群为$\mathbb{Z}_2$，作用于形变空间。
• 计算$R \cdot \overline{\Theta}_{\mathrm{null}} = \frac{1}{4}R \cdot \lambda - \frac{1}{16}R \cdot \alpha_0 = -1$确认了$\overline{\mathcal{S}}_8^+$不是一般型，且Kodaira维数为零。