[论文解读] Moduli space actions on the Hochschild co-chains of a Frobenius algebra II: Correlators

Ralph M. Kaufmann|ArXiv.org|Jun 2, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 22被引用 6

一句话总结

本文通过使用操作子相关函数将微分几何-PROP结构从Sullivan弦图提升至弗罗贝尼乌斯代数的Hochschild上链复，建立了带标记点和切向量的带边黎曼曲面模空间的胞腔作用于Hochschild上链复的结构。关键结果是：在Hochschild上同调上下降的微分几何-PROP作用，通过循环对偶性将BV算子与Connes的$B$-算子联系起来。

ABSTRACT

This is the second of two papers in which we prove that a cell model of the moduli space of curves with marked points and tangent vectors at the marked points acts on the Hochschild co--chains of a Frobenius algebra. We also prove that a there is dg--PROP action of a version of Sullivan Chord diagrams which acts on the normalized Hochschild co-chains of a Frobenius algebra. These actions lift to operadic correlation functions on the co--cycles. In particular, the PROP action gives an action on the homology of a loop space of a compact simply--connected manifold. In this second part, we discretize the operadic and PROPic structures of the first part. We also introduce the notion of operadic correlation functions and use them in conjunction with operadic maps from the cell level to the discretized objects to define the relevant actions.

研究动机与目标

• 证明带标记点和切向量的曲线模空间的胞腔模型作用于弗罗贝尼乌斯代数的Hochschild上链复。
• 通过Sullivan弦图的离散化版本，建立到归一化Hochschild上链复的dg-PROP作用。
• 定义操作子相关函数，将链水平作用提升至上同调结构。
• 证明Hochschild上同调上的BV算子源自同构于带框架的小圆盘操作子的子-PROP。
• 通过展示其在单连通流形的自由循环空间同调上诱导作用，将该作用与弦拓扑联系起来。

提出的方法

• 使用Penner对弧复形的紧化方法，对模空间上的拓扑操作子结构进行离散化。
• 引入操作子相关函数作为循环操作子上的dg-代数结构，编码相关函数内的OPE（算子乘积展开）。
• 利用胞腔水平模型到操作子的映射，通过组合图分解在Hochschild上链复上定义作用。
• 从Sullivan弦图的部分紧化空间的胞腔链构造一个有理数的拓扑拟-PROP。
• 利用链上的dg-PROP结构，在弗罗贝尼乌斯代数的Hochschild上链复上诱导出严格的dg-作用。
• 将该作用应用于收敛于$H_*(LM)$（自由循环空间的同调）的谱序列的$E^1$-项。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使带切向量的带边黎曼曲面模空间的胞腔模型作用于弗罗贝尼乌斯代数的Hochschild上链复？
• RQ2 操作子相关函数在同调代数框架内编码量子场论风格OPE的作用是什么？
• RQ3 Sullivan弦图上的dg-PROP结构如何诱导出Hochschild上链复上的dg-作用？
• RQ4 在循环对偶下，Hochschild上同调上的BV算子与Connes的$B$-算子之间有何关系？
• RQ5 能否将$H_*(LM)$谱序列的$E^1$-项上的作用提升至完整的同调？这对弦拓扑意味着什么？

主要发现

• 模空间$M_{g,n+1}^{1^{n+1}}$上的有理循环操作子结构诱导出其胞腔模型上的循环dg-操作子，该结构作用于弗罗贝尼乌斯代数的Hochschild上链复。
• 该作用通过在具有循环迹的微分分次代数的余循环张量代数上的操作子相关函数被提升，产生一致的类似量子场论的结构。
• Sullivan弦图的dg-PROP作用于弗罗贝尼乌斯代数的归一化Hochschild上链复，且该作用在同调上下降。
• 在Hochschild上同调与弗罗贝尼乌斯代数的循环上同调之间的同构下，Hochschild上同调上的BV算子被识别为Connes的$B$-算子。
• 对$H_*(LM)$谱序列的$E^1$-项上的作用实现了弦拓扑运算的几何实现，保持了过滤与分次。
• Hochschild微分强制使用Penner的紧化弧复形，将代数约束与几何紧化联系起来。