[论文解读] Moduli spaces of p-divisible groups

Eva Viehmann|ArXiv.org|Feb 15, 2005

Advanced Algebra and Geometry参考文献 7被引用 9

一句话总结

本文研究了在特征为 $p$ 的完美域上，$p$-除子群的拟同构模空间的全局几何结构，确定了其维数、连通分支与不可约分支，以及当有理 Dieudonné 模是单模时的上同调。研究证明连通分支是有理连通的，并通过涉及牛顿多边形斜率的公式计算了维数。

ABSTRACT

We study the global structure of moduli spaces of quasi-isogenies of p-divisible groups introduced by Rapoport and Zink. We determine their dimensions and their sets of connected components and of irreducible components. If the isocrystals of the p-divisible groups are simple, we compute the cohomology of the moduli space. As an application we determine which moduli spaces are smooth.

研究动机与目标

• 理解在特征为 $p$ 的完美域上，$p$-除子群的拟同构模空间的全局结构。
• 确定约化模空间 $\mathcal{M}_{\mathrm{red}}$ 的连通分支与不可约分支的集合。
• 当有理 Dieudonné 模是单模时，计算 $\mathcal{M}_{\mathrm{red}}$ 的上同调。
• 通过维数与对偶性准则，建立模空间光滑的条件。

提出的方法

• 通过群 $J = \{g \in \mathrm{GL}(N) \mid g \circ F = F \circ g\}$ 在模空间 $\mathcal{M}_{\mathrm{red}}$ 上的作用，分析不可约分支的结构。
• 模空间 $\mathcal{M}_{\mathrm{red}}$ 的维数通过涉及牛顿多边形斜率 $\lambda_j = m_j/(m_j + n_j)$ 的公式计算：$\dim \mathcal{M}_{\mathrm{red}} = \sum_j \frac{(m_j - 1)(n_j - 1)}{2} + \sum_{j < j'} m_j n_{j'}$。
• 论文将 $\mathcal{M}_{\mathrm{red}}$ 表示为商 $J / (J \cap \mathrm{Stab}(M_0))$，其中 $M_0$ 是一个极小 $p$-除子群的格。
• 通过展示和提升构造 $\mathcal{M}_{\mathrm{red}}$ 的显式 $k[[t]]$-有理点，分析切空间并验证光滑性或 Poincaré 对偶性的失效。
• 上同调计算依赖于：当等距晶格为单模时，模空间是具有已知贝蒂数的射影代数簇。
• 论文使用维数公式 $\dim \mathcal{M}_{\mathrm{red}} = \langle \rho, \mu - \nu \rangle - \frac{1}{2} \mathrm{def}_G(F)$，其中 $\mathrm{def}_G(F) = h - l$，$h = \mathrm{ht}(\mathbb{X})$，$l$ 为斜率类型的数量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在特征为 $p$ 的完美域上，$p$-除子群的拟同构模空间 $\mathcal{M}_{\mathrm{red}}$ 的维数是多少？
• RQ2 模空间 $\mathcal{M}_{\mathrm{red}}$ 的连通分支如何参数化？它们是否是有理连通的？
• RQ3 模空间 $\mathcal{M}_{\mathrm{red}}$ 的不可约分支集合具有何种结构？群 $J$ 如何作用于这些分支？
• RQ4 在何种条件下 $\mathcal{M}_{\mathrm{red}}$ 是光滑的？能否通过上同调检测这一性质？
• RQ5 当有理 Dieudonné 模是单模时，能否计算 $\mathcal{M}_{\mathrm{red}}$ 的上同调？

主要发现

• 当 $\mathbb{X}$ 非平凡时，$\mathcal{M}_{\mathrm{red}}$ 的连通分支集合同构于 $\left(\mathrm{GL}_{\mathrm{ht}(\mathbb{X}_{\mathrm{m}})}(\mathbb{Q}_p)/\mathrm{GL}_{\mathrm{ht}(\mathbb{X}_{\mathrm{m}})}(\mathbb{Z}_p)\right) \times \left(\mathrm{GL}_{\mathrm{ht}(\mathbb{X}_{\mathrm{et}})}(\mathbb{Q}_p)/\mathrm{GL}_{\mathrm{ht}(\mathbb{X}_{\mathrm{et}})}(\mathbb{Z}_p)\right) \times \mathbb{Z}$。
• 群 $J$ 在 $\mathcal{M}_{\mathrm{red}}$ 的不可约分支上的作用是传递的，且分支与 $J / (J \cap \mathrm{Stab}(M_0))$ 双射对应，其中 $M_0$ 是一个极小 $p$-除子群的格。
• 模空间 $\mathcal{M}_{\mathrm{red}}$ 的维数由公式 $\sum_j \frac{(m_j - 1)(n_j - 1)}{2} + \sum_{j < j'} m_j n_{j'}$ 给出，其中 $m_j, n_j$ 是定义斜率 $\lambda_j = m_j/(m_j + n_j)$ 的互素整数。
• 当有理 Dieudonné 模是单模时，$\mathcal{M}_{\mathrm{red}}$ 的上同调被计算，且该空间满足 Poincaré 对偶性。
• $\mathcal{M}_{\mathrm{red}}$ 光滑当且仅当其满足 Poincaré 对偶性；当 $\min\{m,n\} > 2$ 时，该对偶性失效，如不等式 $\dim H^2 \neq \dim H^{2d-2}$ 所示，其中 $d = \dim \mathcal{M}_{\mathrm{red}}^0$。
• 维数公式 $\dim \mathcal{M}_{\mathrm{red}} = \langle \rho, \mu - \nu \rangle - \frac{1}{2} \mathrm{def}_G(F)$ 成立，其中 $\mathrm{def}_G(F) = h - l$，$h = \mathrm{ht}(\mathbb{X})$，$l$ 为不同斜率类型的数量。