[论文解读] Moduli spaces of Ricci positive metrics in dimension five

McFeely Jackson Goodman|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 46被引用 5

一句话总结

该论文利用自旋^c狄拉克算子的η-不变量，区分5-流形上 Ricci正曲率度量模空间中的路径连通分支。证明了对于某些第一陈类为本原类且满足 w₂(TB⁴) ≡ d mod 2 的 #ᵃℂℙ² #ᵇℙ̄ℂℙ² 上的 S¹-丛（其中 a + b ≥ 2），模空间具有无穷多个连通分支，从而确立了存在无穷多个彼此不同胚的5-流形具有此性质。

ABSTRACT

We use the $η$ invariants of spin$^c$ Dirac operators to distinguish connected components of moduli spaces of Riemannian metrics with positive Ricci curvature. We then find infinitely many non-diffeomorphic five dimensional manifolds for which these moduli spaces each have infinitely many components. The manifolds are total spaces of principal $S^1$ bundles over $\#^a\mathbb{C}P^2\#^b\overline{\mathbb{C}P^2}$ and the metrics are lifted from Ricci positive metrics on the bases. Along the way we classify 5-manifolds with fundamental group $\mathbb{Z}_2$ admitting free $S^1$ actions with simply connected quotients.

研究动机与目标

• 利用谱不变量区分5-流形上Ricci正曲率度量模空间的连通分支。
• 构造无穷多个彼此不同胚的5-流形，使得其Ricci正曲率度量的模空间具有无穷多个路径连通分支。
• 对具有 ℤ₂ 基本群且允许自由 S¹ 作用且商为单连通的5-流形进行分类。
• 确立此类5-流形具有无穷多个非等价自由 S¹ 作用（且商彼此微分同胚）的条件。
• 证明可将基4-流形上的Ricci正曲率度量上拉至全空间，从而生成全空间上彼此不同的Ricci正曲率度量。

提出的方法

• 作者使用自旋^c狄拉克算子的η-不变量作为模空间不变量，以检测Ricci正曲率度量空间中不同路径连通分支的存在。
• 他们将5-流形上的度量构造为从基4-流形上Ricci正曲率度量的上拉，其中基流形形式为 #ᵃℂℙ² #ᵇℙ̄ℂℙ² 且满足 a + b ≥ 2。
• 全空间是基流形上的主 S¹-丛，其第一陈类为 2d，其中 d 为本原类且满足 w₂(TB⁴) ≡ d mod 2。
• 此类5-流形的分类取决于 |a − b| mod 4，每类基流形对应 2、3 或 4 种微分同胚类型。
• 该方法依赖于全空间的万有覆盖微分同胚于 #ᵃ⁺ᵇ⁻¹S³×S²，且路变换群作用为 ℤ₂。
• 该构造推广了Kreck与Stolz关于正标量曲率的方法，通过在S¹作用中移除测地线轨道的假设。

实验结果

研究问题

• RQ1 自旋^c狄拉克算子的η-不变量能否检测5-流形上Ricci正曲率度量模空间中不同路径连通分支？
• RQ2 对于哪些满足 π₁(M) = ℤ₂ 的5-流形，其Ricci正曲率度量的模空间具有无穷多个路径连通分支？
• RQ3 第一陈类与施蒂费尔-惠特尼类需满足何种条件，才能保证5-流形具有无穷多个非等价的自由S¹作用且商为单连通？
• RQ4 单连通4-流形的上同调环如何决定其S¹-丛（满足 π₁ = ℤ₂）的微分同胚类型？
• RQ5 能否将4-流形上的Ricci正曲率度量上拉，以生成其S¹-丛上无穷多个几何上不同的Ricci正曲率度量？

主要发现

• 当 M⁵ 是 #ᵃℂℙ² #ᵇℙ̄ℂℙ² 上的主 S¹-丛，且满足 a + b ≥ 2，第一陈类为 2d（其中 d 为本原类且 w₂(TB⁴) ≡ d mod 2）时，M⁵ 上Ricci正曲率度量的模空间具有无穷多个路径连通分支。
• 对于每个此类基流形，全空间 M⁵ 存在 2、3 或 4 种微分同胚类型，具体取决于 |a − b| mod 4。
• 每个此类 M⁵ 均允许无穷多个非等价的自由 S¹ 作用，其商微分同胚于基4-流形。
• M⁵ 的万有覆盖微分同胚于 #ᵃ⁺ᵇ⁻¹S³×S²，且 M⁵ 为非自旋流形，其万有覆盖为单连通。
• η-不变量可区分Ricci正曲率度量模空间中的连通分支，将Kreck与Stolz的不变量从标量曲率推广至Ricci曲率。
• 该构造通过允许非测地线S¹轨道，推广了先前方法，扩大了其在更广泛类别的具有Ricci正曲率度量的5-流形上的适用范围。