[论文解读] Moduli spaces of SL(r)-bundles on singular irreducible curves

Xiaotao Sun|ArXiv.org|Mar 17, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 15

一句话总结

本文通过使用广义 Gieseker 空间，为具有一个节点的奇异不可约曲线上 SL(r)-丛构造了一个行为良好的模空间，证明了固定行列式的一族退化向量丛的方案-理论像在广义 Gieseker 空间中形成一个纯余维数为 g 的 Cohen-Macaulay 子概形。该构造为具有固定行列式的半稳定层的模空间提供了自然的概形结构，解决了 SL(r)-丛模空间退化问题中长期存在的一个难题。

ABSTRACT

For a stable irreducible curve $X$ and a torsion free sheaf $L$ on $X$ of rank one and degree $d$, D.S. Nagaraj and C.S. Seshadri ([NS]) defined a closed subset $\Cal U_X(r,L)$ in the moduli space of semistable torsion free sheaves of rank $r$ and degree $d$ on $X$. We prove that $\Cal U_X(r,L)$ is irreducible, when a smooth curve $Y$ specializes to $X$ and a line bundle $\Cal L$ on $Y$ specializes to $L$, the specialization of moduli space of semistable rank $r$ vector bundles on $Y$ with fixed determinant $\Cal L$ has underlying set $\Cal U_X(r,L)$. For rank 2 and 3, we show that there is a Cohen-Macaulay closed subscheme in the Gieseker space which represents a suitable moduli functor and has good specialization property.

研究动机与目标

• 为具有一个节点的奇异不可约曲线上 SL(r)-丛定义一个与退化数据无关的、自然的模空间。
• 解决在行列式非局部自由时，为奇异曲线上 SL(r)-丛构造行为良好模空间的开放问题。
• 证明固定行列式的一族退化向量丛的方案-理论像在广义 Gieseker 空间中形成一个 Cohen-Macaulay 子概形。
• 证明该构造在光滑曲线退化为奇异曲线时满足预期的专门化行为。

提出的方法

• 使用广义 Gieseker 空间 G(r,d) 作为具有一个节点的奇异曲线 X 上半稳定层模空间的紧化。
• 通过向量丛间态射的退化点构造闭子概形 G(r,L) ⊂ G(r,d)，代表具有固定行列式 L 的层的模函子。
• 应用离散赋值环上平坦族的理论，研究从光滑纤维到奇异纤维的具有固定行列式的向量丛模空间的专门化。
• 使用态射 φ: G(r,L) × J⁰_X → G(r,d) 分析纤维维数，并通过拉回到正规化空间证明余维数界。
• 利用 φ 的像位于拉回映射 σ: J⁰_X → J⁰_~X 的有限个纤维内的事实，控制纤维维数并证明余维数为 g。
• 在 r ≤ 3 或 r = 4 且 X 的正规化非双椭圆的条件下，证明 G(r,L) 为 Cohen-Macaulay 概形且具有纯余维数 g。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在具有一个节点的奇异不可约曲线上，为 SL(r)-丛的半稳定模空间定义一个与退化数据无关的自然概形结构？
• RQ2 在光滑曲线上具有固定行列式的向量丛模空间的专门化是否在奇异极限下产生一个良定义的子概形？
• RQ3 模空间 U_X(r,d) 中具有固定行列式 L 的层的子概形是否自然地赋予 Cohen-Macaulay 概形结构？
• RQ4 在何种条件下，广义 Gieseker 空间中的退化点 G(r,L) ⊂ G(r,d) 具有纯余维数 g 并代表一个良好的模函子？

主要发现

• 对于具有一个节点的不可约曲线 X 及度数为 d 的线丛 L，固定行列式 L 的向量丛退化族的方案-理论像是广义 Gieseker 空间中的闭子概形 G(r,L) ⊂ G(r,d)。
• 当 r ≤ 3 或 r = 4 且 X 的正规化非双椭圆时，G(r,L) 为 Cohen-Macaulay 概形且在 G(r,d) 中具有纯余维数 g。
• G(r,L) 在 G(r,d) 中的余维数恰好为 g，这表明退化模空间族在基上是不可约、无挠且余维数为 g 的 Cohen-Macaulay 概形。
• 态射 φ: G(r,L) × J⁰_X → G(r,d) 的纤维维数至多为 1，这是证明余维数界的关键。
• G(r,L) 在自然态射 θ: G(r,d) → U_X(r,d) 下的集值像恰好为 U_X(r,L)，因此 G(r,L) 为 U_X(r,L) 提供了自然的概形结构。
• 当 (r,d) = 1 时，该构造产生一个行为良好的模空间，满足预期的专门化性质，从而解决了不可约曲线具有一个节点情形下的一个猜想。