[论文解读] Moduli spaces of weighted pointed stable rational curves via GIT

Young‐Hoon Kiem, Han‐Bom Moon|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 11

一句话总结

本文通过从具有对称线性化的GIT商 $(\bar{P}^1)^n//SL(2)$ 出发，经一系列显式爆破，构建了 $n$-点稳定有理曲线的模空间 $\bar{M}_{0,n}$。证明了每个中间空间对应于加权点稳定曲线的模空间 $\bar{M}_{0,n\cdot\epsilon_k}$，从而为Simpson关于对数极小模型的定理提供了新的无条件证明，并给出了这些空间的Picard群的显式基底。

ABSTRACT

We construct the Mumford-Knudsen space of n pointed stable rational curves by a sequence of explicit blow-ups from the GIT quotient (P^1)^n//SL(2) with respect to the symmetric linearization O(1,...,1). The intermediate blown-up spaces turn out to be the moduli spaces of weighted pointed stable curves for suitable ranges of weights. As an application, we provide a new unconditional proof of M. Simpson's Theorem about the log canonical models of the Mumford-Knudsen space. We also give a basis of the Picard group of the moduli spaces of weighted pointed stable curves.

研究动机与目标

• 通过具有对称线性化的GIT商 $(\bar{P}^1)^n//SL(2)$，以显式爆破方式提供模空间 $\bar{M}_{0,n}$ 的几何构造。
• 证明该爆破序列中的每个中间爆破均对应于特定 $\epsilon_k$ 范围内的加权点稳定曲线模空间 $\bar{M}_{0,n\cdot\epsilon_k}$。
• 基于此构造，给出M. Simpson关于 $\bar{M}_{0,n}$ 的对数极小模型定理的全新无条件证明，且不依赖Fulton猜想。
• 对每个 $k$，计算 $\bar{M}_{0,n\cdot\epsilon_k}$ 的Picard群的显式基底。

提出的方法

• 构造过程从GIT商 $(\bar{P}^1)^n//SL(2)$ 出发，通过一系列爆破实现，爆破中心对应于稳定性逐渐增强的加权稳定曲线的子簇。
• 爆破中心为相同维数的光滑子簇的横截并集，确保爆破结果与爆破顺序无关。
• 作者采用Mustata和Mustata提出的 $k$-稳定性条件来定义中间模空间 $F_k$，这些空间通过在 $(\bar{P}^1)^n$ 上沿横截子簇进行迭代爆破构造而成。
• 对序列 $F_k$ 作 $SL(2)$ 的GIT商，得到所需的模空间 $\bar{M}_{0,n\cdot\epsilon_k}$，线性化通过下降方式提升。
• 通过爆破的拉回与例外除子，递归计算每个 $\bar{M}_{0,n\cdot\epsilon_k}$ 的Picard群。
• Simpson定理的证明依赖于直接从爆破结构导出的关键除子的正性，避免了对Fulton猜想的依赖。

实验结果

研究问题

• RQ1 模空间 $\bar{M}_{0,n}$ 能否作为从具有对称线性化的GIT商 $(\bar{P}^1)^n//SL(2)$ 出发的显式爆破序列来构造？
• RQ2 该爆破序列中的中间空间是否对应于Hassett的加权点稳定曲线模空间 $\bar{M}_{0,n\cdot\epsilon_k}$，其中 $\epsilon_k$ 取适当范围？
• RQ3 能否利用此构造无条件证明Simpson关于 $\bar{M}_{0,n}$ 的对数极小模型定理？
• RQ4 每个 $k$ 对应的 $\bar{M}_{0,n\cdot\epsilon_k}$ 的Picard群的显式基底是什么？
• RQ5 爆破中心的结构如何与加权点稳定曲线中的稳定性条件相关联？

主要发现

• 模空间 $\bar{M}_{0,n}$ 被实现为从 $(\bar{P}^1)^n//SL(2)$ 出发的爆破序列，每一步对应于 $\epsilon_k$ 落在 $\frac{1}{m+1-k} < \epsilon_k \leq \frac{1}{m-k}$ 范围内的模空间 $\bar{M}_{0,n\cdot\epsilon_k}$，其中 $m = \lfloor n/2 \rfloor$。
• 当 $n$ 为偶数时，最后一次爆破沿GIT商的奇点进行，奇点由 $\frac{1}{2}\binom{n}{m}$ 个点组成，得到Kirwan的部分解析化。
• 收缩态射 $\varphi_k: \bar{M}_{0,n\cdot\epsilon_k} \to \bar{M}_{0,n\cdot\epsilon_{k-1}}$ 是沿横截光滑子簇并集的爆破，可分解为沿不可约分支的光滑爆破。
• 模空间 $\bar{M}_{0,n\cdot\epsilon_k}$ 的Picard群同构于 $\bar{M}_{0,n\cdot\epsilon_{k-1}}$ 的Picard群的拉回，加上由例外除子 $D_k^S$（满足 $|S| = m-k+1$）生成的自由阿贝尔群，显式基底由 $D_k^S$ 和 $D_k^{\{i,i+1\}}$ 或 $D_k^{\{1,n-1\}}$ 给出。
• 当 $n$ 为奇数时，$\mathrm{Pic}(\bar{M}_{0,n\cdot\epsilon_k}) \cong \bigoplus_{|S|=m-k+1} \mathbb{Z} D_k^S \oplus \bigoplus_{i=1}^{n-1} \mathbb{Z} D_k^{\{i,i+1\}}$；当 $n$ 为偶数时，基底还包括额外的除子 $D_1^{\{1,n-1\}}$ 和满足 $1 \in S$、$|S| = m$ 的 $D_1^S$。
• 本文提供了Simpson定理的新无条件证明：当 $\frac{2}{n-1} < \alpha \leq 1$ 时，对数极小模型 $\bar{M}_{0,n}(\alpha)$ 同构于 $\bar{M}_{0,n\cdot\epsilon_k}$，其中 $\frac{2}{m-k+2} < \alpha \leq \frac{2}{m-k+1}$；当 $\alpha \leq \frac{2}{m+1}$ 时，同构于GIT商 $(\bar{P}^1)^n//SL(2)$。