[论文解读] Nef divisors on $\bar{M}_{0,n}$ from GIT

Valery Alexeev, David Swinarski|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 13

一句话总结

本文引入了模空间 $\overline{M}_{0,n}$ 上的GIT锥，由GIT商空间 $(\mathbb{P}^1)^n//SL(2)$ 上自然丰沛线丛的拉回生成，并给出了这些线丛与 $F$-曲线相交的显式公式。证明了这些线丛在无需依赖 $S_n$-等变Fulton猜想的前提下，实现了Simpson的对数极小模型，作为加权稳定曲线或对称GIT商空间。

ABSTRACT

We introduce and study the GIT CONE of $\bar{M}_{0,n}$, which is generated by the pullbacks of the natural ample line bundles on the GIT quotients $(\mathbb P^1)^n//SL(2)$. We give an explicit formula for these line bundles and prove a number of basic results about the GIT cone. As one application, we prove unconditionally that the log canonical models of $\bar{M}_{0,n}$ with a symmetric boundary divisor coincide with the moduli spaces of weighted curves or with the symmetric GIT quotient, extending the result of Matt Simpson arXiv:0709.4037. (Cf. also a different proof by Fedorchuk and Smyth arXiv:0810.1677)

研究动机与目标

• 在 $\overline{M}_{0,n}$ 的拟正锥中定义并研究由GIT商空间 $(\mathbb{P}^1)^n//SL(2)$ 上丰沛线丛拉回生成的GIT锥 $\mathbf{GC}$。
• 为这些线丛与 $F$-曲线的相交提供显式公式，从而实现GIT锥的有限生成。
• 证明由这些线丛的对称和生成的对称化GIT锥 $\mathbf{SGC}$ 严格小于对称拟正锥。
• 在不依赖 $S_n$-等变Fulton猜想的前提下，重新证明Simpson关于 $\overline{M}_{0,n}$ 上具有对称边界除子的对数极小模型的结果。
• 建立GIT线丛与共形块之间的联系，表明所有 $L_{{\mathbf{x}}}$ 均可表示为共形块丛的行列式。

提出的方法

• 定义一个有理向量 $\mathbf{x} \in \mathbb{Q}^n$，满足 $0 < x_i \leq 1$ 且 $\sum x_i = 2$，用于参数化 $(\mathbb{P}^1)^n$ 上 $SL(2)$-作用的线性化。
• 在GIT商空间 $(\mathbb{P}^1)^n//_{\mathbf{x}}SL(2)$ 上构造线丛 $\mathcal{L}_{{\mathbf{x}}}$，作为从线性化下降下来的特殊丰沛线丛。
• 通过双有理态射 $\pi_{{\mathbf{x}}}: \overline{M}_{0,n} \to (\mathbb{P}^1)^n//_{\mathbf{x}}SL(2)$ 拉回 $\mathcal{L}_{{\mathbf{x}}}$，定义 $L_{{\mathbf{x}}} = \pi_{{\mathbf{x}}}^* \mathcal{L}_{{\mathbf{x}}}$，当所有 $x_i < 1$ 时，该线丛为拟正且大。
• 推导出 $L_{{\mathbf{x}}} \cdot F_{a,b,c,d}$ 的显式公式，即 $L_{{\mathbf{x}}}$ 与每个 $F$-曲线的相交数，从而可计算GIT锥的极小射线。
• 利用 $S_n$-作用定义对称化线丛 $S_{{\mathbf{x}}} = \bigotimes_{\sigma \in S_n} L_{\sigma \mathbf{x}}$，并研究对称化GIT锥 $\mathbf{SGC}$。
• 将Simpson的除子 $A_\alpha$ 表示为 $L_{{\mathbf{x}}}$ 的有效组合，从而无条件证明其拟正性，并表明其在 $\overline{M}_{0,\beta}$ 上的充分性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不假设 $S_n$-等变Fulton猜想的前提下，$\overline{M}_{0,n}$ 上具有对称边界除子的对数极小模型能否被实现为加权稳定曲线 $\overline{M}_{0,\beta}$ 或对称GIT商空间？
• RQ2 GIT线丛 $L_{{\mathbf{x}}}$ 与 $\overline{M}_{0,n}$ 中 $F$-曲线的精确相交理论是什么？该理论如何决定GIT锥的结构？
• RQ3 对称化GIT锥 $\mathbf{SGC}$ 与完整对称拟正锥相比如何？它是否捕捉了对称拟正锥的所有极小射线？
• RQ4 Simpson的除子 $A_\alpha$ 能否表示为 $L_{{\mathbf{x}}}$ 的有效组合，从而在不依赖 $S_n$-等变Fulton猜想的前提下证明其拟正性？
• RQ5 GIT线丛 $L_{{\mathbf{x}}}$ 与 $\overline{M}_{0,n}$ 上的共形块丛之间存在何种关系？所有此类 $L_{{\mathbf{x}}}$ 是否都可表示为共形块的行列式？

主要发现

• 本文为 $L_{{\mathbf{x}}}$ 与每个 $F$-曲线的相交提供了显式公式，使得可通过其0维胞腔实现GIT锥 $\mathbf{GC}$ 的有限生成。
• 当 $n \geq 6$ 时，GIT锥 $\mathbf{GC}$ 严格小于 $\overline{M}_{0,n}$ 的完整拟正锥，表明 $L_{{\mathbf{x}}}$ 并未生成完整的Mori理论。
• 对称化GIT锥 $\mathbf{SGC}$ 严格小于对称拟正锥，表明 $L_{{\mathbf{x}}}$ 的对称组合无法捕捉所有对称拟正除子。
• Simpson的除子 $A_\alpha$ 被证明为 $L_{{\mathbf{x}}}$ 的有效组合，从而无条件证明其拟正性，并消除了对 $S_n$-等变Fulton猜想的依赖。
• 在 $\overline{M}_{0,8}$ 上，线丛 $V(\frac{1}{6},8)$ 在 $F_{2,2,2,2}$ 曲线上为零，但不被任何对称映射 $\pi_\beta$ 收缩，从而证明其不映射到任何 $\overline{M}_{0,\beta}$，因此在任何此类空间上均不为充分。
• 所有 $L_{{\mathbf{x}}}$ 均被识别为共形块丛的倍数：具体而言，当 $\mathbf{x} = \frac{1}{\ell+1} \vec{\lambda}$ 时，$L_{{\mathbf{x}}}$ 是 $\det \mathbb{V}(\mathfrak{sl}_2, \ell, \vec{\lambda})$ 的倍数；当 $x_i = \frac{y_i}{\ell+1}$ 时，$L_{{\mathbf{x}}}$ 是 $\mathbb{V}(\mathfrak{sl}_{\ell+1}, 1, \vec{\lambda})$ 的倍数。