[论文解读] MOG: Mapper on Graphs for Relationship Preserving Clustering

Mustafa Hajij, Bei Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2018

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 68被引用 3

一句话总结

本文提出 MOG（Mapper on Graphs），一种拓扑数据分析方法，通过保留节点属性和结构关系，对复杂图进行总结。通过使用自定义过滤函数和交互式覆盖界面将 mapper 算法应用于图数据，MOG 生成可解释的、关系保持的聚类图，并通过合成数据和真实世界案例研究进行了验证。

ABSTRACT

The interconnected nature of graphs often results in difficult to interpret clutter. Typically techniques focus on either decluttering by clustering nodes with similar properties or grouping edges with similar relationship. We propose using mapper, a powerful topological data analysis tool, to summarize the structure of a graph in a way that both clusters data with similar properties and preserves relationships. Typically, mapper operates on a given data by utilizing a scalar function defined on every point in the data and a cover for scalar function codomain. The output of mapper is a graph that summarize the shape of the space. In this paper, we outline how to use this mapper construction on an input graphs, outline three filter functions that capture important structures of the input graph, and provide an interface for interactively modifying the cover. To validate our approach, we conduct several case studies on synthetic and real world data sets and demonstrate how our method can give meaningful summaries for graphs with various complexities

研究动机与目标

• 为了解决复杂且杂乱图的可解释性挑战，创建一种更易理解的摘要，同时保留节点相似性和边关系。
• 将原本专为点云数据设计的 mapper 算法适配为适用于图结构数据的框架。
• 定义有意义的过滤函数，以捕捉输入图的结构和拓扑特征，从而实现有效的聚类与可视化。
• 提供一个交互式界面，允许用户修改标量函数上域的覆盖，实现对图结构的灵活探索。
• 在多样化数据集上验证该方法，证明其在总结不同复杂度图时的实用性，同时保持结构保真度。

提出的方法

• 通过在每个节点上定义标量函数（过滤函数），将 mapper 算法应用于图数据，将图转化为适合分析的拓扑空间。
• 设计三种不同的过滤函数——基于度数的、基于中间性（betweenness）的和基于随机游走的，以捕捉输入图的不同结构特性。
• 在标量函数的上域上构建覆盖，使 mapper 算法能够将数据划分为重叠区域以实现聚类。
• 生成一个摘要图（mapper 图），其中节点代表原始图节点的聚类，边代表重叠的聚类，从而保留关系结构。
• 引入交互式界面，允许用户调整覆盖参数，实现对图结构不同抽象的动态探索。
• 运用拓扑数据分析原理，确保输出图反映原始图的潜在形状和连通性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何有效适配 mapper 算法，以总结图结构数据，同时保留节点属性和节点间关系？
• RQ2 哪些过滤函数最能捕捉复杂图的关键结构特征，以用于拓扑聚类？
• RQ3 交互式覆盖修改在多大程度上能提升生成的 mapper 图的可解释性和实用性？
• RQ4 MOG 在总结不同复杂度的图（包括合成数据和真实世界数据集）时表现如何？
• RQ5 基于 mapper 的摘要能否保留原始图中存在的有意义的拓扑和关系模式？

主要发现

• MOG 通过结合拓扑聚类与图结构感知，成功生成了可解释的、关系保持的复杂图摘要。
• 所提出的三种过滤函数——基于度数的、基于中间性的和基于随机游走的——有效凸显了图拓扑的不同方面，实现了多样化的结构洞察。
• 交互式覆盖修改使用户能够探索同一图的多种抽象形式，揭示隐藏的结构模式并增强可解释性。
• 在合成数据和真实世界数据集上的案例研究表明，MOG 即使在高复杂度图中也能生成有意义且稳定的聚类。
• 基于 mapper 的摘要图保持了原始图的关键连通性和形状，验证了其作为拓扑摘要工具的有效性。
• 该方法在保留关系上下文方面优于标准聚类方法，尤其在密集或分层结构的图中表现更优。