[论文解读] Moment bounds for the corrector in stochastic homogenization of a percolation model

Agnes Lamacz, Stefan Neukamm+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2013

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 16被引用 12

一句话总结

本论文为 Z^d 上的退化渗流模型（d > 2）在所有 e1 方向的键均确定开放的条件下，建立了校正项的矩界。通过结合 Glauber 动力学的谱间隙估计与椭圆格林函数的逐点梯度估计，作者证明了所有有限阶矩在平稳校正项中一致有界，将先前在均匀椭圆情形下的结果推广至退化电导率设定。

ABSTRACT

We study the corrector equation in stochastic homogenization for a simplified Bernoulli percolation model on $\mathbb{Z}^d$, $d>2$. The model is obtained from the classical $\{0,1\}$-Bernoulli bond percolation by conditioning all bonds parallel to the first coordinate direction to be open. As a main result we prove (in fact for a slightly more general model) that stationary correctors exist and that all finite moments of the corrector are bounded. This extends a previous result in [GO1], where uniformly elliptic conductances are treated, to the degenerate case. With regard to the associated random conductance model, we obtain as a side result that the corrector not only grows sublinearly, but slower than any polynomial rate. Our argument combines a quantification of ergodicity by means of a Spectral Gap on Glauber dynamics with regularity estimates on the gradient of the elliptic Green's function.

研究动机与目标

• 将定量随机均质化理论推广至退化椭圆电导率模型，特别是针对所有 e1 方向键均强制开放的修正伯努利渗流模型。
• 在均匀椭圆性不成立的退化情形下，证明平稳校正项的存在性。
• 在修正的渗流测度下，证明校正项所有有限阶矩的一致有界性。
• 建立一个通过谱间隙估计量化遍历性的框架，并将其应用于退化设定。
• 表明在随机电导率模型中，校正项以次线性且快于任意多项式速率增长。

提出的方法

• 采用一种修正的 {0,1}-伯努利键渗流模型，其中所有平行于第一坐标方向的键均确定开放，以确保几乎必然连通性。
• 对 Glauber 动力学应用谱间隙估计，以量化底层概率测度 ⟨·⟩λ 的遍历性。
• 建立与算子 ∇*a∇ 相关的椭圆格林函数梯度的逐点、二进制平均估计。
• 用基于最近邻间化学距离倒数的空间平均权重，替代标准的均匀椭圆不等式 λ₀|∇u|² ≤ ∇u·a∇u，采用加权、积分型强制估计。
• 利用离散型莱布尼茨不等式（通过推论 2 和引理 12）控制校正方程中的非线性项，从而规避经典莱布尼茨法则的失效。
• 将谱间隙估计与格林函数梯度界结合，通过涉及校正方程和能量估计的微扰论证，推导出校正项的矩界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在电导率不远离零的退化椭圆情形下，能否建立校正项的矩界？
• RQ2 在存在一个方向上确定键的渗流模型中，尽管缺乏均匀椭圆性，平稳校正项的存在性是否仍然成立？
• RQ3 在退化情形下，校正项的增长率如何表现——能否在次线性增长之外进一步量化？
• RQ4 能否将谱间隙方法用于量化遍历性，以适应具有退化电导率的模型？
• RQ5 在退化设定中，化学距离倒数的空间平均在控制格林函数梯度方面起到何种作用？

主要发现

• 对于 d > 2 且 λ ∈ (0,1]，在所有 e1 方向键均开放的修正渗流模型中，平稳校正项 φ 存在。
• 校正项的所有有限阶矩一致有界：对任意 p < ∞，有 ⟨|φ|ᵖ⟩λ^(1/p) ≤ C，其中 C 仅依赖于 p、λ 和 d。
• 校正项以次线性且快于任意多项式速率增长，即对任意 ε > 0，几乎必然有 |φ(x)| ≪ |x|^ε。
• 证明依赖于一种新型的逐点、二进制平均格林函数梯度估计，该估计在退化情形下依然成立。
• 通过 Glauber 动力学的谱间隙估计量化了遍历性，使得即使在缺乏均匀椭圆性时也能获得矩界。
• 关键技术突破在于，用包含最近邻间化学距离倒数的加权、积分型强制估计，替代了均匀椭圆性条件。