[论文解读] Olshanski spherical functions for infinite dimensional motion groups of fixed rank

Margit Rösler, Michael Voit|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 39被引用 11

一句话总结

本文将无限维运动群 (G₁, K₁) 的 Olshanski 球函数分类为 q×q 正半定矩阵的锥上的函数，表明它们是有限维对 (Gₚ, Kₚ) 的球函数在 p→∞ 时的局部一致极限。它将这些极限识别为贝塞尔型函数，并为矩阵贝塞尔函数建立了正积分表示，通过 A 型和 B 型 Dunkl-贝塞尔函数将结果推广至 Cartan 运动群。

ABSTRACT

Consider the Gelfand pairs (Gp,Kp) := (Mp,q ⋊ Up,Up) associ- ated with motion groups over the fields F = R,C,H with pq and fixed q as well as the inductive limit p ! 1, the Olshanski spherical pair (G1,K1). We classify all Olshanski spherical functions of (G1,K1) as functions on the coneq of positive semidefinite q × q-matrices and show that they appear as (locally) uniform limits of spherical functions of (Gp,Kp) as p ! 1. The latter are given by Bessel functions onq. Moreover, we determine all posi- tive definite Olshanski spherical functions and discuss related positive integral representations for matrix Bessel functions. We also extend the results to the pairs (Mp,q ⋊ (Up × Uq),(Up × Uq)) which are related to the Cartan motion groups of non-compact Grassmannians. Here Dunkl-Bessel functions of type B (for finite p) and of type A (for p ! 1) appear as spherical functions.

研究动机与目标

• 对与固定秩 q 的运动群相关的归纳极限对 (G₁, K₁) 的所有 Olshanski 球函数进行分类。
• 建立有限维 Gelfand 对 (Gₚ, Kₚ) 的球函数在 p→∞ 时收敛于 (G₁, K₁) 的球函数的结论。
• 表征所有正定的 Olshanski 球函数，并为矩阵贝塞尔函数推导相关的正积分表示。
• 将框架扩展至对 (Mp,q ⋊ (Up × Uq), Up × Uq)，对应非紧 Grassmann 流形的 Cartan 运动群。
• 在扩展设置中，将有限 p 时的 B 型 Dunkl-贝塞尔函数与 p→∞ 时的 A 型 Dunkl-贝塞尔函数识别为球函数。

提出的方法

• 利用 p→∞ 时的归纳极限构造，从有限维运动群 Mp,q ⋊ Up 推导出无限维对 (G₁, K₁)。
• 通过 q×q 正半定矩阵上的贝塞尔函数分析 (Gₚ, Kₚ) 上的球函数，利用已知的积分表示。
• 在紧子集上应用一致收敛性论证，表明 (Gₚ, Kₚ) 的球函数局部一致收敛于 (G₁, K₁) 的球函数。
• 利用 Bochner 型定理表征正定球函数，并为矩阵贝塞尔函数推导正积分表示。
• 通过将球函数框架适配至 B 型和 A 型 Dunkl 理论，将分析扩展至更大的对称对 (Mp,q ⋊ (Up × Uq), Up × Uq)。
• 依赖对称空间上的调和分析及无限维李群的表示理论，推导球函数的功能形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 无限维运动群 (G₁, K₁) 的 Olshanski 球函数的完整分类是什么？
• RQ2 有限维对 (Gₚ, Kₚ) 的球函数在 p→∞ 时如何收敛于 (G₁, K₁) 的球函数？
• RQ3 哪些 (G₁, K₁) 上的球函数是正定的，它们具有何种积分表示？
• RQ4 在 (Mp,q ⋊ (Up × Uq), Up × Uq) 的扩展设置中，Dunkl-贝塞尔函数的 B 型和 A 型如何作为球函数出现？
• RQ5 正半定 q×q 矩阵的锥在参数化 (G₁, K₁) 的球函数中起什么作用？

主要发现

• 所有 (G₁, K₁) 的 Olshanski 球函数均由正半定 q×q 矩阵的锥参数化。
• 当 p→∞ 时，(Gₚ, Kₚ) 的球函数局部一致收敛于 (G₁, K₁) 的球函数，其极限为矩阵贝塞尔函数。
• 所有 (G₁, K₁) 上的正定球函数均具有涉及矩阵贝塞尔函数的正积分表示。
• 对于扩展对 (Mp,q ⋊ (Up × Uq), Up × Uq)，当 p 为有限值时，球函数由 B 型 Dunkl-贝塞尔函数给出。
• 在极限 p→∞ 时，扩展对的球函数被识别为 A 型 Dunkl-贝塞尔函数。
• 结果通过极限过程与积分表示，统一了有限维与无限维球函数理论。