[论文解读] Moments and Absolute Moments of the Normal Distribution

Andreas Winkelbauer|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2012

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 1被引用 125

一句话总结

本文为实数 $ u > -1 $ 的正态分布提供了原始矩、中心矩以及绝对矩的全面公式。通过抛物柱函数和合流超几何函数推导出这些公式，给出了广义已知结果并填补了标准教科书中的空白。

ABSTRACT

We present formulas for the (raw and central) moments and absolute moments of the normal distribution. We note that these results are not new, yet many textbooks miss out on at least some of them. Hence, we believe that it is worthwhile to collect these formulas and their derivations in these notes.

研究动机与目标

• 系统推导并整理正态分布的原始矩、中心矩、绝对矩及中心绝对矩的公式。
• 解决许多标准教科书中对非整数 $\nuf$ 情况下此类公式的缺失问题。
• 通过抛物柱函数和合流超几何函数等特殊函数，呈现统一的表达式。
• 基于积分恒等式与特殊函数的性质进行推导，确保数学严谨性。
• 将已知结果从整数阶矩扩展至实数 $\nuf > -1 $，增强理论与应用价值。

提出的方法

• 利用特征函数与涉及 $D_{\nu}(z)$（抛物柱函数）的积分恒等式推导原始矩。
• 通过库默尔的合流超几何函数 $\Phi(\alpha,\gamma;z)$ 和特里科米函数 $\Psi(\alpha,\gamma;z)$ 表达矩。
• 应用关键积分工具：$\int_{-\infty}^{\infty}(-jx)^\nu e^{-x^2 + jx\gamma}dx = \sqrt{2^{-\nu}\pi}e^{-\gamma^2/8}D_\nu(\gamma/\sqrt{2})$。
• 利用恒等式 $\Phi(\alpha,\gamma;z) = e^z\Phi(\gamma-\alpha,\gamma;-z)$ 简化含 $\exp(-\mu^2/(2\sigma^2))$ 的表达式。
• 应用反射公式 $\Gamma(\frac{1+\nu}{2})\Gamma(\frac{1-\nu}{2}) = \frac{\pi}{\cos(\pi\nu/2)}$，建立抛物柱函数与三角函数形式之间的联系。
• 通过在原始绝对矩公式中令 $\mu=0$ 推导中心绝对矩，并利用 $\Phi(\alpha,\gamma;0) = 1$。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于实数 $\nu > -1$，正态随机变量的 $\nu$ 阶原始矩与中心矩的闭式表达式是什么？
• RQ2 绝对矩 $\mathrm{E}[|X|^\nu]$ 与 $\mathrm{E}[|X-\mu|^\nu]$ 如何用特殊函数表示？
• RQ3 抛物柱函数与合流超几何函数在表达这些矩时有何关联？
• RQ4 在整数情况下，推导出的公式如何退化为已知结果（例如，当 $\nu$ 为偶数时为 $(\nu-1)!!$）？
• RQ5 能否利用特殊函数恒等式，将不同参数区域（如 $\mu \leq 0$ 与 $\mu > 0$）的公式统一？

主要发现

• 若 $X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$，则其 $\nu$ 阶原始矩为 $\mathrm{E}[X^\nu] = (j\sigma)^\nu \exp(-\mu^2/(4\sigma^2)) D_\nu(-j\mu/\sigma)$，对 $\nu > -1$ 成立。
• 对于中心矩，有 $\mathrm{E}[(X-\mu)^\nu] = \sigma\nu 2^{\nu/2 - 1} \frac{\Gamma((\nu+1)/2)}{\sqrt{\pi}} (1 + (-1)^\nu)$，当 $\nu$ 为奇数时结果为 0，当 $\nu$ 为偶数时为 $(\nu-1)!!\sigma^\nu$。
• 原始绝对矩为 $\mathrm{E}[|X|^\nu] = \sigma^\nu 2^{\nu/2} \frac{\Gamma((\nu+1)/2)}{\sqrt{\pi}} \Phi(-\nu/2, 1/2; -\mu^2/(2\sigma^2))$。
• 中心绝对矩简化为 $\mathrm{E}[|X-\mu|^\nu] = \sigma^\nu 2^{\nu/2} \frac{\Gamma((\nu+1)/2)}{\sqrt{\pi}}$，与 $\mu$ 无关。
• 当 $\nu$ 为非负整数时，公式退化为标准结果：偶数阶中心矩为 $\sigma^\nu (\nu-1)!!$，奇数阶为 0。
• 通过使用 $\Psi$ 与 $\Phi$ 函数，可依据 $\mu$ 的符号分段表示 $\mathrm{E}[X^\nu]$，当 $\mu > 0$ 时使用 $\Psi^*$。