[论文解读] Moments on Riemann surfaces and hyperelliptic Abelian integrals

Lubomir Gavrilov, Fedor Pakovich|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2011

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文解决了复分析与代数几何中的三个相互关联的问题：黎曼曲面上的矩问题、射影平面上零维阿贝尔积分的消失性，以及双椭圆阿贝尔积分的消失性。它证明了双椭圆阿贝尔积分的消失性等价于相关零维阿贝尔积分的消失性，后者可归结为多项式复合分解的条件，从而通过有理函数和反函数上的泛函方程实现了完全表征。

ABSTRACT

In the present paper we solve the following different but interrelated problems: (a) the moment problem on Riemann surfaces, (b) the vanishing problem of polynomial Abelian integrals of dimension zero on the projective plane, (c) the vanishing problem of polynomial hyperelliptic Abelian integrals.

研究动机与目标

• 确定在紧黎曼曲面上，对于亚纯函数 f 与亚纯一形式 ω，矩 ∫γ fsω 消失的必要与充分条件。
• 表征在射影平面上，零维多项式阿贝尔积分的消失性，特别是通过多项式反函数的泛函方程。
• 解决双椭圆阿贝尔积分完全消失的条件问题，尤其与多项式向量场中的分岔及第16个希尔伯特问题的关系。
• 通过零维阿贝尔积分与矩问题的框架统一上述问题，证明在适当的几何与代数条件下，它们彼此等价。

提出的方法

• 将黎曼曲面上的矩问题约化为作为零维阿贝尔积分解释的代数函数的消失性。
• 利用生成函数 J(t) = ∫γ ω/(f−t) 分析矩的消失性，将其与有理性和代数结构联系起来。
• 应用多项式矩问题与 ℚⁿ 不变子空间的结果，表征零维积分的消失条件。
• 将双椭圆阿贝尔积分的消失性转化为由 y² = f(x) + t 定义的黎曼曲面 Γₜ 上的矩问题。
• 在 f + t 的循环像上使用形变技术，将循环分解为临界值区间上的 0-循环。
• 利用 Lüroth 定理与泛函方程，证明 K(x₁(t)) ≡ K(x₂(t)) 当且仅当 f 与 K 共享一个共同的右复合因子。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，对于紧黎曼曲面上的亚纯函数 f 与一形式 ω，所有矩 ∫γ fsω 恒为零？
• RQ2 当有理系数 ai 与多项式 f 的反函数分支满足 ∑ai g(f⁻¹ᵢ(z)) ≡ 0 时，何时成立？
• RQ3 如何表征双椭圆阿贝尔积分 I(t) = ∫γ(t) (Pdx + Qdy) 沿连续闭合曲线族消失的完全性？
• RQ4 双椭圆阿贝尔积分的消失性与矩问题及零维阿贝尔积分之间有何关联？

主要发现

• 双椭圆阿贝尔积分 I(t) 的消失性等价于由临界值区间导出的 0-循环上的关联零维阿贝尔积分的消失性。
• I(t) ≡ 0 的必要与充分条件是存在一个实多项式 r，使得 f 与 K = ∫k 均为 r 的多项式，且 r(x₁(t)) ≡ r(x₂(t)) 对于椭圆的端点成立。
• K(x₁(t)) ≡ K(x₂(t)) 成立当且仅当 f 与 K 共享一个共同的右复合因子，这蕴含积分恒为零。
• 该方法具有一般性，即使不假设循环 γ(t) 沿 t 平面路径消失，也可通过使用定理 4.1 而非定理 4.2 来实现。
• 证明表明，f + t 在椭圆上的像可分解为若干区间，在这些区间上定义了 0-循环 δi(z)，而 I(t) 的有理性取决于 ∫δi(z) K ≡ 0。
• 该结果推广了 Christopher 与 Mardesic 对 Morse 情况（k=1）的早期工作，将其扩展至任意实多项式 f（次数 ≥2）。