[论文解读] Monadic Second Order Logic with Measure and Category Quantifiers

Matteo Mio, Michał Skrzypczak+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2017

Advanced Algebra and Logic参考文献 31被引用 3

一句话总结

本论文研究了在无限字和树上对一阶二元逻辑（MSO）的扩展，引入了针对‘几乎所有’子集的二阶量词，分别通过Baire范畴（forall^*）和Lebesgue测度（forall^{=1}）进行解释。研究证明，带有范畴量词的MSO是可判定的（S1S + forall^* = S1S），而带有测度量词的MSO是不可判定的（S1S + forall^{=1} 不可判定），并建立了与概率自动机及S2S中可定义性的联系。

ABSTRACT

We investigate the extension of Monadic Second Order logic, interpreted over infinite words and trees, with generalized "for almost all" quantifiers interpreted using the notions of Baire category and Lebesgue measure.

研究动机与目标

• 研究扩展了针对‘几乎所有’子集的二阶量词（通过Baire范畴和Lebesgue测度解释）的一阶二元逻辑（MSO）的表达力与逻辑性质。
• 确定在结构(N,<)和全二叉树上，由此产生的逻辑的可判定性。
• 澄清带有测度/范畴量词的MSO与自动机理论解释（特别是概率树自动机）之间的关系。
• 解决关于S2S扩展中可定义性与复杂性的开放问题。

提出的方法

• 论文使用自动机理论技术与博弈论推理，特别是Banach–Mazur博弈，分析Cantor空间2^ω上量词的行为。
• 应用概率自动机理论的结果，证明S1S + forall^{=1}的不可判定性，利用与Bojańczyk的不可判定逻辑S1S + U的联系。
• 对于范畴量词，为S1S + forall^*提供了一种有效的量词消去过程，证明其与普通S1S等价。
• 引入一种新逻辑S2S + forall^{=1}_π，其中π遍历路径，并通过基于自动机的解释证明其与S2S + U^{=1}等价。
• 分析概率树自动机对语言的可定义性，并将其与S2S + forall^{=1}_π可定义的语言进行比较。
• 通过证明S2S + forall^{=1}_π可定义非正则语言但无法被此类自动机捕获，揭示了概率自动机的局限性。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管先前的工作存在缺陷，S2S + forall^*的理论是否可判定？
• RQ2 S2S + forall^{=1}_π是否仅定义项目集层次中的Δ¹₂类集合？
• RQ3 每个S2S + forall^{=1}_π可定义的语言是否都能被概率树自动机捕获？
• RQ4 S2S + forall^{=1}的理论是否可判定？
• RQ5 能否设计一种算法来计算S2S可定义集合的测度？

主要发现

• 逻辑S1S + forall^*是可判定的，且等价于普通S1S，因为forall^*量词可被有效消去。
• 逻辑S1S + forall^{=1}是不可判定的，通过将Bojańczyk的不可判定逻辑S1S + U进行解释而证明。
• S2S + forall^{=1}的理论是不可判定的，因为它通过从S1S到S2S的翻译，解释了S1S + forall^{=1}。
• 逻辑S2S + forall^{=1}_π与S2S + U^{=1}等价，建立了基于路径的测度量词与无界量词之间的联系。
• 存在S2S + forall^{=1}_π可定义的语言，但无法被概率树自动机定义，表明表达力有严格提升。
• S2S + forall^{=1}_π可定义集合的类不一定是Δ¹₂类的子集，尽管目前已知的所有例子都属于该类。