[论文解读] Monads on higher monoidal categories

Marcelo Aguiar, Mariana Haim+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 27被引用 6

一句话总结

本文引入并研究了高阶张量范畴上的单子——即具有多个相容张量结构的范畴——并提供了充分条件，使得此类单子的代数范畴能够继承一个高阶张量结构。关键贡献是定理8.1，该定理表明当单子与高阶张量结构相容（通过多重线性与一致性条件）时，其代数范畴成为一个n-张量范畴，从而推广了关于张量与余张量单子的已知结果。

ABSTRACT

We study the action of monads on categories equipped with several monoidal structures. We identify the structure and conditions that guarantee that the higher monoidal structure is inherited by the category of algebras over the monad. Monoidal monads and comonoidal monads appear as the base cases in this hierarchy. Monads acting on duoidal categories constitute the next case. We cover the general case of $n$-monoidal categories and discuss several naturally occurring examples in which $n\leq 3$.

研究动机与目标

• 将张量与余张量单子的理论推广至具有多个相容张量结构的范畴。
• 识别代数范畴继承单子的高阶张量结构的结构性条件。
• 统一并扩展现有关于作用于双张量与n-张量范畴的单子的研究成果。
• 为理解高阶张量环境下的多重线性与一致性关系提供系统性框架。

提出的方法

• 在n-张量范畴上引入高阶张量单子的概念，推广张量与余张量单子。
• 利用多重线性概念定义单子与多个张量结构之间的相容性。
• 应用可表示多范畴与非严格张量结构的理论，在代数范畴上构造张量结构。
• 采用Linton型的反射余等化式来定义代数范畴中的张量积。
• 分析指向单子与 smash 积构造，作为单子诱导高阶张量结构的关键示例。
• 通过范畴上的范畴与双张量单子在范畴上的构造，使用范畴理论实例化该理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 在n-张量范畴上，何种条件下单子能使其代数范畴继承一个相容的n-张量结构？
• RQ2 张量、余张量及混合类型单子在高阶张量范畴中如何与多个张量结构相互作用？
• RQ3 多重线性在确保单子与高阶张量结构之间的一致性中起何种作用？
• RQ4 能否通过单子在张量范畴上的作用系统地构造双指向对象的smash积？
• RQ5 在范畴上的范畴上，何种条件下双张量余单子能诱导出余模范畴上的双张量结构？

主要发现

• 定理8.1表明，若单子满足适当的多重线性与一致性条件，则其在n-张量范畴上的代数范畴可继承一个高阶张量结构。
• 根据定理3.14，张量单子的代数范畴具有多范畴结构与非严格张量结构。
• 指向单子构造可生成双指向对象的smash积，为单子诱导高阶张量结构提供了具体实例。
• 对于集合论双张量半群B，其在范畴上的相关余单子在B-范畴上诱导出双张量结构，且两个张量积均有显式公式。
• 在向量范畴上，集合论双张量半群的线性化产生3-张量范畴中的(2,1)-单子，从而导出双张量余单子与余模范畴上的双张量结构。
• 除非底层范畴集中在空集上，否则该构造在余张量结构上不具完全线性，凸显了实现完全线性的一个关键障碍。