[论文解读] Monochromatic disconnection: Erdős-Gallai-type problems and product graphs

Ping Li, Xueliang Li|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2019

Advanced Graph Theory Research参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文研究了单色割断数 $md(G)$，其定义为在边着色中使每对顶点通过单色边割分离时所能使用的最大颜色数。该文解决了此类不变量的 Erdős-Gallai 型极值问题，并精确计算了四种图积——笛卡尔积、强积、字典积和张量积——的 $md(G)$ 值，表明当至少一个因子是非二分图且无悬挂边时，有 $md(G \ast H) \leq \min\{g_o(G), g_o(H)\}$。

ABSTRACT

For an edge-colored graph $G$, we call an edge-cut $M$ of $G$ monochromatic if the edges of $M$ are colored with a same color. The graph $G$ is called monochromatically disconnected if any two distinct vertices of $G$ are separated by a monochromatic edge-cut. The monochromatic disconnection number, denoted by $md(G)$, of a connected graph $G$ is the maximum number of colors that are allowed to make $G$ monochromatically disconnected. In this paper, we solve the Erdős-Gallai-type problems for the monochromatic disconnection, and give the monochromatic disconnection numbers for four graph products, i.e., Cartesian, strong, lexicographic, and tensor products.

研究动机与目标

• 刻画在边着色中可使用的最大颜色数，使得每对顶点均被单色边割分离。
• 解决单色割断数 $md(G)$ 的 Erdős-Gallai 型极值问题，识别在给定约束下使 $md(G)$ 最大化或最小化的极值图。
• 确定四种标准图积——笛卡尔积、强积、字典积和张量积——的 $md(G)$ 的精确值。
• 建立 $md(G \ast H) = 1$ 的结构条件，特别是当一个因子包含三角形或为完全图 $K_n$（$n \geq 5$）时。
• 利用非二分图因子的奇圈长推广 $md(G \ast H)$ 的边界，基于环结构提供紧致上界。

提出的方法

• 使用单色边割（即所有边颜色相同的边割）的概念来定义单色割断及单色割断数 $md(G)$。
• 应用结构图论，包括块分解和生成子图，将问题简化为树和环等更简单组件。
• 采用归纳法和子图限制技术来界定 $md(G \ast H)$，特别是通过分析 $G$ 的子图 $G'$ 的 $md(G' \ast H)$。
• 利用非二分图 $G$ 的奇圈长 $g_o(G)$ 作为关键参数来界定 $md(G \ast H)$，证明 $md(G \ast H) \leq \min\{g_o(G), g_o(H)\}$。
• 利用已知的 $md(K_n)$、$md(K_n^-)$ 和 $md(K_{n,t})$ 结果，推导出当一个因子为完全图 $K_n$（$n \geq 5$）时，有 $md(G \ast H) = 1$。
• 应用软层和乘积图中顶点序列的概念，以控制颜色诱导边集的结构，并验证 $MD$-着色。

实验结果

研究问题

• RQ1 在连通图 $G$ 的边着色中，最多可使用多少种颜色 $md(G)$，使得每对顶点均被单色边割分离？
• RQ2 在顶点数、最小度或环结构等约束下，哪些图能实现 $md(G)$ 的极值？
• RQ3 单色割断数在四种标准图积——笛卡尔积、强积、字典积和张量积——下如何表现？
• RQ4 在何种条件下 $md(G \ast H) = 1$，特别是当一个因子为完全图或包含三角形时？
• RQ5 能否以因子的奇圈长为依据，对乘积图的单色割断数进行界定？

主要发现

• 对于阶为 $n$ 的连通图 $G$，单色割断数 $md(G)$ 满足 $1 \leq md(G) \leq n-1$，且当且仅当 $G$ 为树时取等号 $n-1$。
• 对于无三角形的单环图 $G$（环长为 $n$），有 $md(G) = \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor$；若 $G$ 为三角形，则 $md(G) \leq n-2$。
• 对于笛卡尔积 $G \Box H$，若 $G$ 和 $H$ 均为非二分图且无悬挂边，则 $md(G \Box H) \leq \min\{g_o(G), g_o(H)\}$。
• 对于张量积 $G \times H$，若 $G$ 和 $H$ 均为非二分图且最小度至少为 2，则 $md(G \times H) \leq \min\{g_o(G), g_o(H)\}$。
• 若 $H = K_n$ 且 $n \geq 5$，则对任意满足 $|G| \geq 2$ 的连通图 $G$，有 $md(G \times H) = 1$，这是由于 $K_n$ 的高连通性和奇圈长。
• 若 $G$ 既非树也非含 $K_3$ 环的单环图，且 $H$ 包含三角形且无悬挂边，则 $md(G \times H) = 1$。