[论文解读] Monoidal categories and the Gerstenhaber bracket in Hochschild cohomology

Reiner Hermann|Mar 14, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 96被引用 15

一句话总结

本文通过Quillen的范畴化构造，显式描述了通过扩张范畴的同伦群与Ext-群之间的同构关系，将S. Schwede在Hochschild上同调中对Gerstenhaber括号的精确序列解释推广至精确范畴与张量范畴。关键贡献在于证明了Gerstenhaber括号在Morita等价下保持不变，并计算了拟三角双代数的括号核的显著部分，验证了L. Menichi的猜想。

ABSTRACT

In this monograph, we extend S. Schwede's exact sequence interpretation of the Gerstenhaber bracket in Hochschild cohomology to certain exact and monoidal categories. Therefore we establish an explicit description of an isomorphism by A. Neeman and V. Retakh, which links $\mathrm{Ext}$-groups with fundamental groups of categories of extensions and relies on expressing the fundamental group of a (small) category by means of the associated Quillen groupoid. As a main result, we show that our construction behaves well with respect to structure preserving functors between exact monoidal categories. We use our main result to conclude, that both the Lie bracket and the squaring map in Hochschild cohomology are invariants under Morita equivalence. For quasi-triangular bialgebras, we further determine a significant part of the Lie bracket's kernel, and thereby prove a conjecture by L. Menichi. Along the way, we introduce $n$-extension closed and entirely extension closed subcategories of abelian categories, and study some of their properties.

研究动机与目标

• 将S. Schwede在Hochschild上同调中对Gerstenhaber括号的精确序列解释推广至精确范畴与张量范畴。
• 显式描述连接Ext-群与扩张范畴基本群的Retakh同构。
• 通过保持结构的函子，建立Gerstenhaber括号在Morita等价下的不变性。
• 确定拟三角双代数的Gerstenhaber括号核的显著部分，验证L. Menichi的猜想。
• 引入并研究阿贝尔范畴中的n-扩张闭子范畴与完全扩张闭子范畴。

提出的方法

• 利用Quillen的范畴化构造，将小范畴的基本群表示为扩张范畴的同伦类型的函数。
• 应用Ext-群与扩张范畴同伦群之间的Retakh同构，提供显式的代数描述。
• 应用Yoneda积，并在导出范畴框架下定义Hochschild上同调上的李括号。
• 在张量范畴假设下，构造保持括号结构的扩张范畴之间的张量函子。
• 引入n-扩张闭子范畴与完全扩张闭子范畴的概念，以分析扩张在复合下的稳定性。
• 利用双代数上双模范畴的张量结构，以与张量积相容的方式定义括号。

实验结果

研究问题

• RQ1 S. Schwede对Gerstenhaber括号的精确序列解释如何推广至精确范畴与张量范畴？
• RQ2 在此背景下，Ext-群与扩张范畴同伦群之间Retakh同构的显式形式是什么？
• RQ3 在张量范畴的设定下，Hochschild上同调上的Gerstenhaber括号是否在Morita等价下保持不变？
• RQ4 拟三角双代数的Gerstenhaber括号核是什么？是否与L. Menichi的猜想一致？
• RQ5 n-扩张闭子范畴与完全扩张闭子范畴如何影响扩张范畴及其同伦群的结构？

主要发现

• 通过Retakh同构构造的Gerstenhaber括号与精确张量范畴之间的保持结构的函子相容。
• Hochschild上同调上的分次李括号在Morita等价下保持不变，推广了模情形下的结果。
• 对于拟三角双代数，Gerstenhaber括号的核的显著部分被显式确定，验证了L. Menichi的猜想。
• 双代数上双模范畴具有诱导出正确括号结构的张量结构。
• 引入n-扩张闭子范畴与完全扩张闭子范畴为分析阿贝尔范畴中更高阶扩张闭包提供了框架。
• Yoneda积与括号构造在双模范畴的张量结构下相容，从而在上同调上诱导出一致的李代数结构。