[论文解读] Monoidal Morita equivalence

Kornél Szlachányi|ArXiv.org|Oct 18, 2004

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用 10

一句话总结

本文引入了无基的双范畴框架下的张量Morita等价性，作为双代数胚的基无关双范畴框架，将经典的Morita等价性推广至张量范畴。它证明了强余单子生成元可分类张量Morita等价类，并刻画了双代数胚上的模范畴，将Takeuchi的$φ$-Morita理论扩展至非Tannakian情形。

ABSTRACT

The monoidal version of classical Morita theory is a theory of bialgebroids. To make this explicit we construct a bicategory the objects of which are the bialgebroids and in which equivalence of objects means that the corresponding module categories are monoidally equivalent. The module categories of bialgebroids and of Frobenius Hopf algebroids are characterized by the existence of strong comonoid progenerators and strong Frobenius progenerators, respectively.

研究动机与目标

• 开发一个基无关的双代数胚双范畴，以捕捉张量Morita等价性。
• 将经典Morita理论推广至张量范畴，特别是针对如双代数胚和Hopf代数胚等非Tannakian例子。
• 通过强余单子生成元刻画双代数胚上的模范畴。
• 阐明在Sweedler余环情形下，张量Morita等价性与经典$φ$-Morita等价性之间的关系。
• 提供一种在无需基范畴之间函子的前提下比较张量范畴的框架。

提出的方法

• 通过$R|S$-余代数胚作为1-细胞构造一个余代数胚双范畴，水平复合通过在$S^e$上张量积实现。
• 定义1-细胞复合$P \odot Q = P \otimes_{S^e} Q$，并赋予诱导的余乘法与余元结构。
• 在双范畴中使用Sweedler余环$E(R) = R^{\mathrm{op}} \otimes R$作为水平单位。
• 应用Takeuchi的框架，将张量Morita等价性定义为该双范畴中的等价关系。
• 采用强余单子生成元作为不变量，以分类张量Morita等价类。
• 建立双代数胚的模范畴彼此张量Morita等价当且仅当它们共享一个强余单子生成元。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为双代数胚定义一个独立于基范畴的张量Morita等价性？
• RQ2 在张量设定下，双代数胚上的模范畴具有哪些结构性质？
• RQ3 在Sweedler余环情形下，张量Morita等价性与经典$φ$-Morita等价性有何关系？
• RQ4 强余单子生成元在分类张量Morita等价类中扮演何种角色？
• RQ5 张量Morita等价性是否可能在不具有基双代数胚$φ$-Morita等价性的情况下发生？

主要发现

• 张量Morita等价性通过一个基无关的双代数胚双范畴定义，将经典Morita理论推广至张量范畴情境。
• 强余单子生成元可分类双代数胚模范畴的张量Morita等价类。
• 存在一个强余单子生成元可刻画双代数胚$A$的范畴$\mathsf{M}_A$。
• 当限制于Sweedler余环$E(R)$时，该构造恢复了Takeuchi的$\sqrt{\text{Morita}}$等价性。
• 张量Morita等价性不要求基双代数胚彼此等价，如双代数膨胀的例子所示。
• 通过余乘法与余元相容性，建立了通过双模$P$的等价$B \simeq \tilde{B}$，证明了$\tilde{B} \simeq B$作为双代数胚。