[论文解读] Monotonicity and phase transition for the VRJP and the ERRW

Rémy Poudevigne|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2019

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 13被引用 5

一句话总结

该论文通过耦合具有不同初始权重的VRJP过程，建立了VRJP与ERRW中的单调性，证明了增加初始权重会增强瞬态行为。关键结果是：在 $ d \geq 3 $ 的 $ \mathbf{Z}^d $ 上，VRJP与ERRW的常返/瞬态相变具有唯一性；在常返图上，VRJP/ERRW的常返性可通过无穷权重极限得到证明。

ABSTRACT

The vertex-reinforced jump process (VRJP), introduced by Davis and Volkov, is a continuous-time process that tends to come-back to already visited vertices. It is closely linked to the edge-reinforced random walk (ERRW) introduced by Coppersmith and Diaconis in 1986 which is more likely to cross edges it has already crossed. On $\mathbb{Z}^d$ for $d\geq 3$, both models where shown to be recurrent for small enough initial weights (by Sabot, Tarrès(2015) and Angel,Crawford,Kozma(2014)) and transient for large enough initial weights (by Disertori,Sabot,Tarrès(2015) and Sabot,Tarrès(2015)). We show through a coupling of the VRJP for different weights that the VRJP (and the ERRW) exhibits some monotonicity. In particular, we show that increasing the initial weights of the VRJP and the ERRW makes them more transient which means that the recurrence/transience phase transition is necessarily unique. Furthermore, by making the weights go to infinity, we show that the recurrence of the ERRW and the VRJP is implied by the recurrence of a random walk in deterministic electrical network.

研究动机与目标

• 建立VRJP与ERRW在初始权重变化下常返与瞬态行为的单调性。
• 解决关于 $ \mathbf{Z}^d $（$ d \geq 3 $）上VRJP与ERRW的常返/瞬态相变是否唯一的开放问题。
• 证明在常返图上，ERRW与VRJP的常返性可由其在无穷初始权重下的行为推导得出。
• 通过将常返性与确定性网络中的等效电导联系起来，拓展VRJP/ERRW与电网络之间的联系。

提出的方法

• 构建不同初始权重配置 $ W^{-} $ 与 $ W^{+} $（满足 $ W^{-} \leq W^{+} $）的VRJP过程之间的耦合，以比较其常返概率。
• 利用ERRW可表示为具有独立同分布Gamma分布权重的时间改变VRJP这一表示，将结果推广至ERRW。
• 应用文献[16]中的 $ \beta $-场耦合技术，以控制VRJP中有效权重的演化。
• 依赖于VRJP的格林函数逆与电网络中等效电导之间的等价性，分析常返性。
• 在特定条件下，利用有效权重以概率趋于零的收敛性，证明比值 $ G_n(x_0, \delta_n)/G_n(\delta_n, \delta_n) $ 趋于零，从而确认常返性。
• 应用测度变换与拉普拉斯变换技术，计算逆 $ \beta $-变量的条件期望，将其与等效电导联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在VRJP与ERRW中，增加初始权重是否会导致瞬态行为单调增加？
• RQ2 在 $ \mathbf{Z}^d $（$ d \geq 3 $）上，VRJP与ERRW的常返/瞬态相变是否唯一？
• RQ3 能否从无穷初始权重下的行为推导出在常返图上VRJP与ERRW的常返性？
• RQ4 电网络中的等效电导如何与具有有限或无穷权重的VRJP的常返性相关联？
• RQ5 $ \beta $-场耦合在建立VRJP中单调性方面起到什么作用？

主要发现

• VRJP的常返概率关于初始权重是非增的：增加 $ W_e $ 会降低常返概率。
• 在 $ \mathbf{Z}^d $（$ d \geq 3 $）上，VRJP与ERRW的常返/瞬态相变是唯一的，因为单调性排除了多重相变的可能性。
• 在常返图上，ERRW与VRJP的常返性可由无穷初始权重极限下的行为推导得出，此时过程表现如同在确定性电网络上的简单随机游走。
• 当电网络中电导 $ c_e = \mathbb{E}[\tilde{W}_e] $ 时，等效电导决定了VRJP的常返性，且等效电导趋于零意味着常返性。
• 当有效权重 $ w^{\text{eff}} $ 以概率趋于零时，比值 $ G_n(x_0, \delta_n)/G_n(\delta_n, \delta_n) $ 以概率趋于零，从而确认了常返性。
• VRJP中逆 $ \beta $-变量的分布与非中心卡方分布相关，使得关键耦合所需的条件期望可被精确计算。