[论文解读] Monte Carlo simulation of stoquastic Hamiltonians

Sergey Bravyi|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2014

Quantum many-body systems参考文献 27被引用 12

一句话总结

该论文表明，当存在一个与基态重叠非可忽略的引导态时，可通过蒙特卡罗方法高效估算局部可迹哈密顿量的基态能量。论文证明了引导可迹哈密顿量问题在复杂度类MA中是完全的，并表明铁磁性横场伊辛模型可通过基于Jerrum-Sinclair算法的经典FPRAS在多项式时间内模拟。

ABSTRACT

Stoquastic Hamiltonians are characterized by the property that their off-diagonal matrix elements in the standard product basis are real and non-positive. Many interesting quantum models fall into this class including the Transverse field Ising Model (TIM), the Heisenberg model on bipartite graphs, and the bosonic Hubbard model. Here we consider the problem of estimating the ground state energy of a local stoquastic Hamiltonian $H$ with a promise that the ground state of $H$ has a non-negligible correlation with some `guiding' state that admits a concise classical description. A formalized version of this problem called Guided Stoquastic Hamiltonian is shown to be complete for the complexity class MA (a probabilistic analogue of NP). To prove this result we employ the Projection Monte Carlo algorithm with a variable number of walkers. Secondly, we show that the ground state and thermal equilibrium properties of the ferromagnetic TIM can be simulated in polynomial time on a classical probabilistic computer. This result is based on the approximation algorithm for the classical ferromagnetic Ising model due to Jerrrum and Sinclair (1993).

研究动机与目标

• 形式化具有引导态的可迹哈密顿量基态能量估算的计算复杂度。
• 证明引导可迹哈密顿量问题在复杂度类MA中是完全的。
• 证明铁磁性横场伊辛模型的基态和热力学性质可在经典计算机上以多项式时间进行模拟。
• 为可迹哈密顿量避免符号问题且适合高效经典模拟的信念提供严格的理论基础。

提出的方法

• 使用具有可变行走者数量的投影蒙特卡罗算法来模拟可迹哈密顿量。
• 应用Suzuki-Trotter公式将量子配分函数映射为具有非负权重的经典配分函数。
• 采用与基态具有多项式小但非可忽略重叠的引导态，以实现高效采样。
• 通过引入层间耦合的系统多份副本，将问题约化为经典铁磁伊辛模型。
• 利用Jerrum和Sinclair（1993年）提出的经典铁磁伊辛模型的FPRAS（全多项式随机近似方案）。
• 通过泰勒级数展开和算子范数界进行误差分析，以控制Trotter-Suzuki分解中的近似误差。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有引导态的可迹哈密顿量基态能量估算问题是否属于复杂度类MA？
• RQ2 铁磁性横场伊辛模型的基态能量能否在经典计算机上高效模拟？
• RQ3 存在与基态非可忽略重叠的引导态是否能实现可迹哈密顿量的高效经典蒙特卡罗模拟？
• RQ4 通过基底变换和经典采样，是否可在一大类量子模型中避免符号问题？
• RQ5 引导可迹哈密顿量问题的计算复杂度是什么？

主要发现

• 引导可迹哈密顿量问题在复杂度类MA中是完全的，确立了其在概率证明下的计算困难性和可验证性。
• 铁磁性横场伊辛模型的基态能量可在时间O(n^59 J^21 δ^(-9))内以乘法误差δ近似，忽略对数因子。
• 映射后的铁磁伊辛模型的经典配分函数具有FPRAS，其运行时间为O(δ^(-2) M^3 N^11 log N)，其中N = nr且M ≤ n^2 r。
• 通过微扰论证，假设h_u ≥ δ/n，量子配分函数的近似误差被控制在δ以内。
• Trotter-Suzuki近似中误差的算子范数被限制在12ρ^3以内，确保了级数展开的收敛性。
• 该方法实现了对铁磁性TIM热力学和基态性质的多项式时间经典模拟，证明了即使源于量子体系，此类模型仍可高效模拟。