[论文解读] Moonshine Cohomology

Bong H. Lian, Gregg J. Zuckerman|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 1995

Advanced Topics in Algebra被引用 10

一句话总结

本文引入了月光上同调（Moonshine Cohomology），一种从量子算子代数到Batalin-Vilkovisky代数的新型上同调函子，其自然自同构群为Fischer-Griess怪物群。本文证明了一个普遍的消去定理，并通过秩为二的单模格的上同调度数一构造了Borcherd的怪物李代数，为这种以双曲格为分次的上同调提供了新的分次维数与示性类。

ABSTRACT

We construct a new cohomology functor from the a certain category of {\it quantum operator algebras} to the category of {\it Batalin-Vilkovisky algebras}. This {\it Moonshine cohomology} has, as a group of natural automorphisms, the Fischer-Griess Monster finite group. We prove a general vanishing theorem for this cohomology. For a certain commutative QOA attached to a rank two hyperbolic lattice, we show that the degree one cohomology is isomorphic to the so-called Lie algebra of physical states. In the case of a rank two unimodular lattice, the degree one cohomology gives a new construction of Borcherd's Monster Lie algebra. As applications, we compute the graded dimensions and signatures of this cohomology as a hermitean Lie algebra graded by a hyperbolic lattice. In the first half of this paper, we give as preparations an exposition of the theory of quantum operator algebras. Some of the results here were announced in lectures given by the first author at the Research Institute for Mathematical Sciences in Kyoto in September 94.

研究动机与目标

• 开发一种新的上同调理论——月光上同调，以建立量子算子代数与Batalin-Vilkovisky代数之间的联系。
• 确立Fischer-Griess怪物有限群作为该上同调函子的自然自同构群。
• 计算月光上同调作为以双曲格为分次的Hermitian李代数的分次维数与示性类。
• 通过秩为二的单模格的上同调度数一，提供Borcherd的怪物李代数的新构造。
• 证明该上同调理论的一般消去定理。

提出的方法

• 作者定义了一个从量子算子代数（QOAs）范畴到Batalin-Vilkovisky代数范畴的上同调函子。
• 他们利用量子算子代数的结构，特别是与双曲格和单模格相关的结构，来定义上同调群。
• 该构造依赖于顶点算子代数及其表示的代数性质，尤其在共形场论的背景下。
• 证明月光上同调通过其自同构群作用有Fischer-Griess怪物群的作用。
• 将上同调度数一识别为秩为二的双曲格的物理态的李代数。
• 利用上同调的Hermitian结构，以双曲格为分次，计算分次维数与示性类。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构造一种自然地包含Fischer-Griess怪物群对称性的上同调理论？
• RQ2 与双曲格相关的量子算子代数的上同调度数一结构为何？
• RQ3 Borcherd的怪物李代数能否通过此新的上同调函子重构？
• RQ4 当月光上同调被视为以双曲格为分次的Hermitian李代数时，其分次维数与示性类为何？
• RQ5 该上同调理论具有哪些普遍的结构性质，例如消去定理？

主要发现

• 月光上同调函子的自然自同构群为Fischer-Griess怪物有限群。
• 该上同调理论满足一个普遍的消去定理，为其上同调群提供了结构性约束。
• 对于秩为二的双曲格，上同调度数一同构于物理态的李代数。
• 在秩为二的单模格情况下，上同调度数一给出了Borcherd的怪物李代数的新构造。
• 作为以双曲格为分次的Hermitian李代数，上同调的分次维数与示性类已被计算。
• 上同调被实现为Batalin-Vilkovisky代数，从而将其与量子场论及弦理论结构联系起来。