[论文解读] Mordell-Weil groups of elliptic threefolds and the Alexander module of plane curves

José Agustín, Anatoly Libgober|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用 18

一句话总结

本文建立了具有常数 $j$-不变量 0 或 1728 的椭圆三重纤维丛的 Mordell-Weil 群与仅含节点和尖点的平面曲线的 Alexander 模之间的深刻联系。通过将 Mordell-Weil 群的秩与 Alexander 多项式的次数关联，作者证明：对于仅以节点和尖点为奇点的不可约平面曲线，其 Alexander 多项式的次数上界为 $\frac{5}{3}d - 2$，并利用椭圆型准塔罗关系对非平凡 Alexander 多项式进行了刻画。

ABSTRACT

We show that the degree of the Alexander polynomial of an irreducible plane algebraic curve with nodes and cusps as the only singularities does not exceed ${5 \over 3}d-2$ where $d$ is the degree of the curve. We also show that the Alexander polynomial $Δ_C(t)$ of an irreducible curve $C=\{F=0\}\subset \mathbb P^2$ whose singularities are nodes and cusps is non-trivial if and only if there exist homogeneous polynomials $f$, $g$, and $h$ such that $f^3+g^2+Fh^6=0$. This is obtained as a consequence of the correspondence, described here, between Alexander polynomials and ranks of Mordell-Weil groups of certain threefolds over function fields. All results also are extended to the case of reducible curves and Alexander polynomials $Δ_{C,ε}(t)$ corresponding to surjections $ε: π_1(\mathbb P^2\setminus C_0 \cup C) ightarrow \mathbb Z$, where $C_0$ is a line at infinity. In addition, we provide a detailed description of the collection of relations of $F$ as above in terms of the multiplicities of the roots of $Δ_{C,ε}(t)$. This generalization is made in the context of a larger class of singularities i.e. those which lead to rational orbifolds of elliptic type.

研究动机与目标

• 建立具有 $j$-不变量 0 或 1728 的椭圆三重纤维丛的 Mordell-Weil 群与平面曲线的 Alexander 模之间的对应关系。
• 对仅以节点和尖点为奇点的不可约平面曲线的 Alexander 多项式次数进行上界估计。
• 通过准塔罗关系刻画此类曲线的 Alexander 多项式非平凡的代数条件。
• 将结果推广至可约曲线，并研究与满射 $\varepsilon: \pi_1(\mathbb{P}^2 \setminus \mathcal{C}_0 \cup \mathcal{C}) \to \mathbb{Z}$ 相关的广义 Alexander 多项式。
• 根据满足 $f^3 + g^2 + Fh^6 = 0$ 的齐次多项式 $f$、$g$、$h$ 之间的关系，描述 Alexander 多项式根的重数结构。

提出的方法

• 利用复数域 $\mathbb{C}(x,y)$ 上具有常数 $j$-不变量 0 或 1728 的椭圆三重纤维丛的几何性质，将其 Mordell-Weil 群与平面曲线的 Alexander 模联系起来。
• 构造从 $\mathbb{P}^2$ 到 $\mathbb{P}^1$ 的有理映射，赋予其轨道空间结构，使得非约化纤维对应于曲线的奇点。
• 将椭圆型准塔罗关系定义为齐次多项式 $f,g,h$ 满足 $f^3 + g^2 + Fh^6 = 0$ 的解，将其与非平凡 Alexander 多项式的存在性联系起来。
• 应用具有重数 $m_i$ 的轨道空间椭圆线性系统理论，满足 $\sum 1/m_i = 1$，从而导出类型为 $(2,3,6)$、$(3,3,3)$ 或 $(2,4,4)$ 的轨道空间结构。
• 利用 Mordell-Weil 群的秩，通过公式 $\text{deg } \Delta_{\mathcal{C},\varepsilon} = \dim (G'/G'' \otimes \mathbb{Q}) \otimes_\Lambda \Lambda/(t_1 - t^{\varepsilon(\gamma_1)}, \dots)$ 计算 Alexander 多项式的次数。
• 利用 Degtyarev 的可除性准则与特征簇理论，验证准塔罗关系的存在性及其独立性。

实验结果

研究问题

• RQ1 仅以节点和尖点为奇点的不可约平面曲线的 Alexander 多项式，其最大可能次数是多少？
• RQ2 在何种代数条件下，此类曲线的 Alexander 多项式是非平凡的？
• RQ3 具有 $j=0$ 或 $j=1728$ 的椭圆三重纤维丛的 Mordell-Weil 群如何与平面曲线的拓扑相关？
• RQ4 能否用多项式关系描述 Alexander 多项式根的重数结构？
• RQ5 椭圆型准塔罗关系理论在多大程度上可用于对具有非平凡 Alexander 多项式的曲线进行分类？

主要发现

• 仅以节点和尖点为奇点的不可约平面曲线 $\mathcal{C}$ 的 Alexander 多项式 $\Delta_{\mathcal{C},\varepsilon}(t)$ 的次数上界为 $\frac{5}{3}d - 2$，其中 $d$ 为 $\mathcal{C}$ 的次数。
• 当且仅当存在齐次多项式 $f$、$g$ 和 $h$ 满足 $f^3 + g^2 + Fh^6 = 0$ 时，$F$ 定义的曲线的 Alexander 多项式是非平凡的。
• 次数为 12、具有 39 个尖点的曲线 $\mathcal{C}_{12,39}$ 的 Alexander 多项式为 $\Delta_{\mathcal{C}_{12,39}}(t) = (t^2 - t + 1)^4$，这是首个已知具有重数为 4 的根的示例。
• 对于可约曲线，即使全局多项式为平凡，其 Alexander 多项式 $\Delta_{\mathcal{C},\varepsilon}(t)$ 也可能是非平凡的，例如 $\mathcal{C}_6^{(1)}$ 在 $\varepsilon = (1,2)$ 时得到 $\Delta(t) = t^2 + 1$。
• 存在椭圆型准塔罗关系意味着曲线可赋予到 $\mathbb{P}^1$ 的有理映射，其具有三个非约化纤维，其重数的倒数之和为 1。
• 曲线 $F = (y^3 - z^3)(z^3 - x^3)(x^3 - y^3)$ 具有类型为 $(3,3,3)$ 的准塔罗关系，其 Alexander 多项式为 $\Delta_{\mathcal{C}}(t) = (t^2 + t + 1)^2(t - 1)^8$。