[论文解读] More Consequences of Falsifying SETH and the Orthogonal Vectors Conjecture

Amir Abboud, Karl Bringmann+2 more|TU/e Research Portal|May 22, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 85被引用 30

一句话总结

本文通過證明若OV或SETH猜想為假，則若干長期存在的難題——如超圖中的Zero-Weight-k-Clique與Min-Weight-k-Clique問題，以及稀疏TC1電路的可滿足性問題——將會擁有遠快於現有算法的高效算法，從而加強了OV與SETH猜想的證據。關鍵結果為：若OV存在次二次時間算法，則這些問題將擁有次指數時間算法，從而將其難度與基本複雜度假設聯繫起來。

ABSTRACT

The Strong Exponential Time Hypothesis and the OV-conjecture are two popular hardness assumptions used to prove a plethora of lower bounds, especially in the realm of polynomial-time algorithms. The OV-conjecture in moderate dimension states there is no $ε>0$ for which an $O(N^{2-ε})\mathrm{poly}(D)$ time algorithm can decide whether there is a pair of orthogonal vectors in a given set of size $N$ that contains $D$-dimensional binary vectors. We strengthen the evidence for these hardness assumptions. In particular, we show that if the OV-conjecture fails, then two problems for which we are far from obtaining even tiny improvements over exhaustive search would have surprisingly fast algorithms. If the OV conjecture is false, then there is a fixed $ε>0$ such that: (1) For all $d$ and all large enough $k$, there is a randomized algorithm that takes $O(n^{(1-ε)k})$ time to solve the Zero-Weight-$k$-Clique and Min-Weight-$k$-Clique problems on $d$-hypergraphs with $n$ vertices. As a consequence, the OV-conjecture is implied by the Weighted Clique conjecture. (2) For all $c$, the satisfiability of sparse TC1 circuits on $n$ inputs (that is, circuits with $cn$ wires, depth $c\log n$, and negation, AND, OR, and threshold gates) can be computed in time ${O((2-ε)^n)}$.

研究动机与目标

• 通過證明若OV或SETH猜想為假，將導致算法領域的重大突破，從而加強OV與SETH猜想的證據。
• 展示若OV猜想不成立，則在d-超圖上的Zero-Weight-k-Clique與Min-Weight-k-Clique問題將存在隨機化算法，其時間複雜度為O(n^{(1−ε)k})，其中ε > 0。
• 證明若CNF-SAT可在O*(2^{1−ε}n)時間內求解，則具有cn條線路與深度(log n)^{1+δ}的稀疏TC1電路的可滿足性問題，可於O(2^{(1−ε')}n)時間內計算，其中ε' > 0。
• 建立OV猜想與加權Clique猜想之間的聯繫，從而將細粒度複雜度中兩個核心猜想聯繫起來。

提出的方法

• 將OV問題歸約至d-超圖上的Zero-Weight-k-Clique與Min-Weight-k-Clique問題，證明若OV存在次二次時間算法，則這些clique問題將擁有次指數時間算法。
• 利用引理4.7（Valiant風格邊緣移除）的深度簡化技術，降低門限電路的深度，從而實現高效轉換為CNF公式。
• 透過在精心選擇的邊集上迭代固定門的輸出值，從門限電路構造k-CNF公式，從而降低電路深度與大小，同時保持可滿足性不變。
• 將改進的O*(2^{1−ε}n)時間複雜度的隨機化CNF-SAT算法應用於所得公式，從而為原始門限電路獲得次指數時間算法。
• 使用DeMorgan電路模擬對稱門（如門限門與MODm門），從而將結果推廣至基本門限門之外的更廣泛情形。
• 建立一整套歸約層次結構，表明OV或CNF-SAT的改進將導致P與NP中多個問題（包括APSP、3-SUM與模式匹配）的複雜度同步提升。

实验结果

研究问题

• RQ1 若OV猜想為假，則對d-超圖上的Zero-Weight-k-Clique與Min-Weight-k-Clique問題會產生何種算法後果？
• RQ2 OV問題的次二次算法是否能導致稀疏TC1電路（任意深度）的次指數時間算法？
• RQ3 SETH猜想的失敗在多大程度上會導致APSP、3-SUM與clique問題等問題複雜度的改進？
• RQ4 OV猜想是否嚴格強於加權Clique猜想，或它們在歸約下是否等價？
• RQ5 深度簡化技術能否用於改進CNF編碼中門限電路的線路數量對電路深度的依賴關係？

主要发现

• 若OV猜想為假，則對所有d與足夠大的k，存在一隨機化算法，可在O(n^{(1−ε)k})時間內解決d-超圖上的Zero-Weight-k-Clique與Min-Weight-k-Clique問題，其中ε > 0。
• OV猜想蘊含加權Clique猜想，即OV的次二次算法將導致加權Clique問題的次指數算法。
• 若CNF-SAT可在O*(2^{1−ε}n)時間內求解，則具有cn條線路與深度(log n)^{1+δ}的稀疏TC1電路的可滿足性問題，可於O(2^{(1−ε')}n)時間內計算，其中ε' > 0。
• 歸約過程中產生的k-CNF公式數量最多為2^{εn/2}，且每個公式的變量數量最多為(1 + ε/2)n，確保整體大小仍為次指數級。
• k對電路深度d的依賴關係已降低至(4000(c/ε) lg(4c/ε))^{(2d)^{1−ε/(2c)}}，從而使深度為(log n)^{1+δ}的電路實現指數級加速。
• 結果表明，若OV猜想為假，將在圖算法、字串匹配與計算幾何等多個領域引發突破，通過壓縮其已知下界。