[论文解读] Mori fibre spaces for Kähler threefolds

Andreas Höring, Thomas Peternell|ERef Bayreuth (University of Bayreuth)|Oct 22, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 13被引用 14

一句话总结

该论文证明，任何在MRC-纤维化中具有二维基的非投影紧致Kähler三复形，都双全纯等价于一个Mori纤维空间。通过使用归一化的Kähler类，并应用伴随类的基点自由定理进行相对MMP，作者证明了存在一个到具有正反canonical类的Kähler表面的纤维化，从而完成了紧致Kähler三复形的极小模型程序。

ABSTRACT

Let X be a compact Kaehler threefold such that the base of the MRC-fibration has dimension two. We prove that X is bimeromorphic to a Mori fibre space. Together with our earlier result arXiv:1304.4013 this completes the MMP for compact Kaehler threefolds: let X be a non-projective compact Kaehler threefold. Then X has a minimal model or X is bimeromorphic to a Mori fibre space over a non-projective Kaehler surface.

研究动机与目标

• 通过解决通约化情形，完成非投影紧致Kähler三复形的极小模型程序（MMP）。
• 证明具有MRC-纤维化中二维基的紧致Kähler三复形双全洁等价于一个Mori纤维空间。
• 通过证明在具有klt奇点的Kähler表面上存在相对MMP，将MMP扩展到非投影情形。
• 为具有归一化Kähler类的通约化Kähler三复形上的伴随类 $K_X + \omega$ 建立基点自由定理。

提出的方法

• 在 $X$ 上使用一个归一化的Kähler类 $\omega$，使得对一般纤维 $F \simeq \mathbb{P}^1$ 有 $\omega \cdot F = 2$，从而确保 $K_X + \omega$ 在纤维上平凡。
• 应用PĂĂun的近期结果，证明在MRC-纤维化基维数为二的条件下，$K_X + \omega$ 为拟有效。
• 证明存在一个MMP $X \dashrightarrow X'$，使得对 $X'$ 上的所有归一化Kähler类 $\omega'$，都有 $K_{X'} + \omega'$ 为 nef。
• 当 $K_X + \omega$ 为 nef 时，建立 $K_X + \omega$ 的基点自由定理，证明其关于纤维化 $\varphi: X \to S$ 为 $\varphi$-平凡。
• 在曲面 $S$ 上运行相对MMP，利用投影态射的锥与收缩定理，确保终止性。
• 通过初等收缩论证，证明最终目标曲面 $S$ 为 $\mathbb{Q}$-因子化且具有至多klt奇点。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个具有二维MRC-纤维化基的非投影紧致Kähler三复形是否都存在一个双全洁等价于Mori纤维空间的模型？
• RQ2 是否可以通过构造一个具有正反canonical类的纤维化，完成Kähler三复形在通约化情形下的极小模型程序？
• RQ3 对于归一化Kähler类 $\omega$，伴随类 $K_X + \omega$ 经过适当的MMP后是否为 nef，从而支持基点自由定理？
• RQ4 由基点自由定理得到的纤维化是否产生一个Mori纤维空间结构，其基为具有klt奇点的 $\mathbb{Q}$-因子化Kähler曲面？

主要发现

• 任何具有终端奇点且MRC-纤维化基为二维的正规 $\mathbb{Q}$-因子化紧致Kähler三复形，都双全洁等价于一个Mori纤维空间。
• 存在一个MMP $X \dashrightarrow X'$，使得对 $X'$ 上所有归一化Kähler类 $\omega'$，都有 $K_{X'} + \omega'$ 为 nef。
• 对于归一化Kähler类 $\omega$ 且 $K_X + \omega$ 为 nef 的情形，伴随类关于到紧致Kähler曲面 $S$ 的全纯纤维化 $\varphi: X \to S$ 为 $\varphi$-平凡。
• 纤维化 $\varphi$ 确保 $-K_X$ 为 $\varphi$-ample，且 $\rho(X/S) = 1$，满足Mori纤维空间的定义。
• 基曲面 $S$ 为 $\mathbb{Q}$-因子化且具有至多klt奇点，这是通过初等收缩的性质所确立的。
• 相对MMP的最终结果是一个Mori纤维空间 $X'' \to S''$，其中 $S''$ 为紧致Kähler曲面，从而完成了非投影Kähler三复形的MMP。