[论文解读] Morse-Bott cohomology from homological perturbation theory

Zhengyi Zhou|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 82被引用 5

一句话总结

本文利用同调微扰理论（HPT）构建了一个统一的Morse-Bott上同调理论，在仅需最小横截性假设的流范畴临界流形上，给出了一个极小上链复形。它表明，cascades构造与Austin-Braam模型均可作为HPT的正式应用，且证明了关键不变量，如作用谱序列及与分类空间近似无关的等变不变性。

ABSTRACT

In this paper, we construct cochain complexes generated by the cohomology of critical manifolds in the abstract setup of flow categories for Morse-Bott theories under minimum transversality assumptions. We discuss the relations between different constructions of Morse-Bott theories. In particular, we explain how homological perturbation theory is used in Morse-Bott theories, and both our construction and the cascades construction can be interpreted as applications of homological perturbations. In the presence of group actions, we construct cochain complexes for the equivariant theory. Expected properties like the independence of approximations of classifying spaces and the existence of the action spectral sequence are proven. We carry out our construction for Morse-Bott functions on closed manifolds and prove it recovers the regular cohomology. We outline the project of combining our construction with the polyfold theory.

研究动机与目标

• 在同调微扰理论的基础上，将现有的Morse-Bott上同调构造——Austin-Braam、Fukaya与cascades——统一于一个框架之下。
• 确立形式化的同调微扰引理应用可在最小横截性假设下产生良定义的Morse-Bott上同调理论。
• 将构造推广至等变Morse-Bott理论，证明其与分类空间近似无关，并证明作用谱序列的存在性。
• 验证当应用于闭流形上的Morse-Bott函数时，该极小构造能恢复普通的奇异上同调。
• 概述一个将该构造与多面体理论结合的计划，以处理无限维情形下的横截性问题。

提出的方法

• 通过临界流形与紧化模空间上的微分形式的拉回与上推操作，构造一个极小的Morse-Bott上链复形。
• 应用同调微扰引理推导上链复形中的微分，将整个构造视为HPT的正式应用。
• 以模空间的纤维积横截性作为最小假设，确保紧化流空间上的光滑结构。
• 通过在梯度流线模空间上的积分定义微分，其分量涉及球丛上的角形式与联络。
• 通过角形式与代表类对纤维积上微分形式进行约化，实现上同调计算。
• 通过引入群作用将构造推广至等变情形，并证明其在分类空间近似下的不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Austin-Braam、Fukaya与cascades这三种主要的Morse-Bott上同调构造统一于一个正式框架之下？
• RQ2 形式化应用同调微扰引理在多大程度上能产生良定义的Morse-Bott上同调理论？
• RQ3 在Morse-Bott理论中构造良定义上链复形所需的必要横截性条件是什么？
• RQ4 在Morse-Bott上同调的背景下，作用谱序列如何产生？其意义是什么？
• RQ5 能否在保持与分类空间近似无关性的前提下，将极小的Morse-Bott构造扩展至等变理论？

主要发现

• 极小的Morse-Bott上链复形作为同调微扰引理的形式应用被构造出来，统一了Austin-Braam与cascades模型。
• 当应用于闭流形上的Morse-Bott函数时，该构造恢复了流形的奇异上同调，验证了其在有限维情形下的正确性。
• 作用谱序列存在且收敛于Morse-Bott上同调，提供与流范畴结构相容的滤子。
• 在群作用存在的情况下，等变上同调与分类空间近似的选择无关，确保了拓扑不变性。
• 上链复形中的微分通过紧化模空间上微分形式的上推与拉回定义，其分量涉及角形式与联络。
• 关于对角嵌入与纤维积上积分的关键恒等式证明，依赖于形式的闭性与约化代数的结构，确认了该构造的上同调一致性。