[论文解读] Morse decomposition for D-module categories on stacks

Kevin McGerty, Thomas Nevins|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文通过余切丛的Kirwan-Ness分层，为被商叠积耗尽的光滑代数叠上的扭曲D-模范畴建立了范畴化的Morse分解。证明了将D-模范畴从分层上的微局部子商模胶合而成的recollement结构，其中包含新颖的有限性与存在性性质，适用于函子，由此通过Hochschild同调导出超凯勒与代数辛商的修正Kirwan满射性。

ABSTRACT

Let Y be a smooth algebraic stack exhausted by quotient stacks. Given a Kirwan-Ness stratification of the cotangent stack T^*Y, we establish a recollement package for twisted D-modules on Y, gluing the category from subquotients described via modules microsupported on the Kirwan-Ness strata of T^*Y. The package includes unusual existence and "preservation-of-finiteness'' properties for functors of the full category of twisted D-modules, extending the standard functorialities for holonomic modules. In the case that Y = X/G is a quotient stack, our results provide a higher categorical analogue of the Atiyah-Bott--Kirwan--Ness "equivariant perfection of Morse theory'' for the norm-squared of a real moment map. As a consequence, we deduce a modified form of Kirwan surjectivity for the cohomology of hyperkaehler/algebraic symplectic quotients of cotangent bundles.

研究动机与目标

• 通过余切丛的Kirwan-Ness分层，为叠上的扭曲D-模发展范畴化的Morse分解。
• 建立recollement结构，将D-模的导出范畴分解为KN分层上微局部支持的子商模。
• 在无界导出范畴设定下，证明函子（例如 $j_*$, $j^*$）的新存在性与有限性性质，扩展了正则函子性。
• 通过Hochschild同调与Kirwan映射，推导出超凯勒与代数辛商的上同调后果。
• 在D-模语境下，为实值矩量映射的范数平方的等变Morse理论提供高阶范畴类比。

提出的方法

• 对被商叠积耗尽的光滑叠 $ancyscript{Y}$ 的余切丛 $T^*ancyscript{Y}$ 使用Kirwan-Ness分层。
• 将微局部范畴 ${ancyscript{D}}(ancyscript{U},c)$ 定义为 ${ancyscript{D}}(ancyscript{Y},c)$ 关于在闭并集分层上微局部支持的子范畴的商。
• 通过伴随函子构造recollement：$j^*: {ancyscript{D}}({ancyscript{U}},c) o {ancyscript{D}}({ancyscript{U}}^ullet,c)$, $j_*$, $i_*$, 以及 $i^!$，对应于分层的开与闭包含。
• 证明右伴随函子 $j_*$ 保持D-模的紧致性与凝聚性，扩展了正则情形下的标准结果。
• 对导出范畴应用Hochschild同调，利用迹函子与对偶性，将 $HH_*({ancyscript{D}}({ancyscript{U}},c))$ 与辛商的de Rham上同调联系起来。
• 利用识别 $HH_*({ancyscript{D}}(X/G)) o H^*_{dR}(I(X)/G)$ 与 ${ancyscript{W}}$-代数下降，将Hochschild同调与 $ancyscript{Y}^{ss}/G$ 的上同调联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过范畴分解将等变Morse理论推广至D-模在叠上的设定？
• RQ2 在无界导出范畴的扭曲D-模设定下，前推与限制函子（如 $j_*$, $j^*$）的函子性质（如紧致性与凝聚性保持）为何成立？
• RQ3 在超凯勒与代数辛商的语境下，能否通过D-模范畴推广或修正Kirwan满射定理？
• RQ4 D-模范畴在叠上的Hochschild同调在多大程度上反映了辛商的de Rham上同调？
• RQ5 D-模在叠上的微局部结构如何与余切丛的Kirwan-Ness分层相关联？

主要发现

• 本文为叠上的扭曲D-模建立了recollement结构，通过 $T^*ancyscript{Y}$ 的KN分层上的微局部支持子商模对范畴进行分解。
• $j_*$，即限制的右伴随函子，保持D-模的紧致性与凝聚性，这是对正则情形的非平凡推广。
• 限制函子 $j^*$ 在Hochschild同调上诱导满射，通过 $j^* o j_!$ 为同伦逆的复合关系得以证明。
• ${ancyscript{D}}(X/G)$ 的Hochschild同调同构于惯性叠 $I(X)/G$ 的de Rham上同调，且存在偏移：$HH_k o H^*_{dR}^{2n-k}$。
• 导出范畴 ${ancyscript{D}}(T^*X^{ss}/G)$ 与 $ancyscript{Y}^{ss}/G$ 上 ${ancyscript{W}}$-代数模的导出范畴等价，从而支持上同调计算。
• 推导出Kirwan满射性的修正形式：Kirwan映射 $H^*_{G}(X) o H^*(X^{ss}/G)$ 在通过D-模范畴的Hochschild同调后成为满射，反映了辛商的几何结构。