[论文解读] Mosco Type Convergence and Weak Convergence for a Fleming-Viot type Particle System

Jörg‐Uwe Löbus|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文通过相对于初始测度和生成元的分部积分，建立了有界 $d$-维域（边界光滑）中非对称 $n$$-粒子 Fleming-Viot 系统的 Mosco 型收敛性和弱收敛性。主要贡献在于证明了在 Skorokhod 空间 $D_{{\rm M}_{\partial}(\overline{D})}([0,\infty))$ 中的相对紧致性，以及测度取值过程 $X^n_t = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \delta_{(X_i)_t}$ 的弱收敛性，其极限过程满足非线性 PDE，收敛性通过有限维分部积分与无限维随机分析建立。

ABSTRACT

We are concerned with Mosco type convergence for a non-symmetric $n$-particle Fleming-Viot system $\{X_1,\ldots,X_n\}$ in a bounded $d$-dimensional domain $D$ with smooth boundary. Moreover, we are interested in relative compactness of the $n$-particle processes. It turns out that integration by parts relative to the initial measure and the generator is the appropriate mathematical tool. For finitely many particles, such integration by parts is established by using probabilistic arguments. For the limiting infinite dimensional configuration we use a result from infinite dimensional non-gaussian calculus.

研究动机与目标

• 在有界 $d$-维域（边界光滑）中，建立 $n$-粒子 Fleming-Viot 系统的 Mosco 型收敛性与相对紧致性。
• 在 $n \to \infty$ 时，分析测度取值过程 $X^n_t = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \delta_{(X_i)_t}$ 在 Skorokhod 空间 $D_{{\rm M}_{\partial}(\overline{D})}([0,\infty))$ 中的弱收敛性。
• 通过有限 $n$ 的极限定理，刻画系统极限行为，包括跳跃起始位置与跳跃距离。
• 为 $n$-粒子过程发展并应用相对于生成元与初始测度的有限维分部积分。
• 利用无限维空间中的非高斯分析，将上述结果推广至无限维极限情形。

提出的方法

• 以相对于初始测度与生成元的分部积分为核心分析工具，用于 $n$-粒子系统。
• 通过概率论方法建立有限维分部积分，尤其在命题 5.3(a) 中体现。
• 采用无限维非高斯分析处理极限情形下的无限维构型。
• 使用 Skorokhod 空间 $D_{{\rm M}_{\partial}(\overline{D})}([0,\infty))$，其中 $E = {\rm M}_{\partial}(\overline{D})$ 为在 $D$ 上一致的概率测度等价类空间，以确保技术条件 (c7) 成立。
• 依赖有限维分布的弱收敛性，如 [12] 推论 2.9，以建立完整过程的弱收敛性。
• 应用表示式 $v(t,y) = \frac{1}{z(t)}\int_D p(t,x,y)\mu(dx)$，其中 $z(t) = \int_D \int_D p(t,x,y)\mu(dx)\,dy$，证明极限轨迹满足非线性 PDE $\frac{\partial}{\partial t}v = \frac{1}{2}\Delta v - \frac{z'(t)}{z(t)}v$，且边界条件 $v(t,x)|_{\partial D} = 0$ 成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $n \to \infty$ 时，$n$-粒子 Fleming-Viot 过程是否在 Skorokhod 空间 $D_{{\rm M}_{\partial}(\overline{D})}([0,\infty))$ 中表现出 Mosco 型收敛性与相对紧致性？
• RQ2 在一般初始测度下，测度取值过程 $X^n_t$ 是否可弱收敛至极限过程 $X_t$，特别是当极限满足非线性 PDE 时？
• RQ3 当 $n \to \infty$ 时，$n$-粒子系统的跳跃起始位置与跳跃距离的极限行为如何？
• RQ4 如何为有限 $n$ 严格建立相对于生成元与初始测度的分部积分？其在收敛性结果中起何作用？
• RQ5 无限维非高斯分析在将有限维结果推广至无限维极限中起何作用？

主要发现

• 本文在 Skorokhod 空间 $D_{{\rm M}_{\partial}(\overline{D})}([0,\infty))$ 中建立了 $n$-粒子过程 $X^n_t$ 的 Mosco 型收敛性与相对紧致性，该结果在适当条件下蕴含弱收敛性。
• 通过有限维分布的弱收敛性（借助 [12] 及第 7 节末尾的注记 (1)）证明了测度取值过程 $X^n_t$ 弱收敛至极限过程 $X_t$。
• 极限过程 $X_t$ 的轨迹 $v(t,x)\,dx$ 满足非线性 PDE $\frac{\partial}{\partial t}v = \frac{1}{2}\Delta v - \frac{z'(t)}{z(t)}v$，其中 $v(t,x)|_{\partial D} = 0$ 且 $v(0,x)\,dx = \mu$，$z(t) = \int_D \int_D p(t,x,y)\mu(dx)\,dy$。
• 命题 3.2(a) 与 (b) 提供了当 $n \to \infty$ 时，$n$-粒子系统跳跃起始位置与跳跃距离的极限定理，刻画了粒子系统的渐近行为。
• 命题 5.3(a) 中的有限维分部积分结果是关键技术工具，支持命题 5.3(b) 与 (c) 的收敛性证明，后者在建立 Mosco 型收敛性中起决定性作用。
• 本文证明了 $\mathbb{E}_{\boldsymbol{\nu}_n} e^{-\beta \tau_{B^c}} \leq \varepsilon_n$，其中 $\varepsilon_n \to 0$ 当 $n \to \infty$，从而确认条件 (c8)，并支持相对紧致性。