[论文解读] Mostar index of graph operations

Shehnaz Akhter, Zahid Iqbal+2 more|arXiv (Cornell University)|May 16, 2020

Graph theory and applications参考文献 23被引用 7

一句话总结

本文推导出六种图运算——冠图、笛卡尔积、联图、字典序积、Indu-Bala积以及细分点边联图——的Mostar指数的闭式公式，使复杂化学图和纳米结构的Mostar指数能够高效计算。核心贡献是一个系统性框架，将拓扑描述符与分子图运算相联系，其显式表达式已在化学和纳米材料图类中得到验证。

ABSTRACT

Very recently, a bond-additive topological descriptor, known as the Mostar index, has been proposed as a measure of peripherality in graphs and networks. In this article, we compute the Mostar index of corona product, Cartesian product, join, lexicographic product, Indu-Bala product and subdivision vertex-edge join of graphs and apply these results to find the Mostar index of various classes of chemical graphs and nanostructures.

研究动机与目标

• 建立各种图运算的Mostar指数的解析表达式，以促进对分子和纳米结构性质的研究。
• 将Mostar指数——一种衡量周边性的键加和拓扑描述符——的适用性扩展至化学和纳米材料网络中常见的复杂图构造。
• 提供一个计算框架，利用分量图的已知不变量，实现对大型和复杂化学图的Mostar指数的高效计算。
• 将推导出的公式应用于计算特定化学图和纳米结构（如冠状物和碳纳米锥）的Mostar指数。
• 弥合理论图不变量与定量构效关系（QSAR）和构性关系（QSPR）中的实际应用之间的差距。

提出的方法

• 通过分析每条边对两个端点中较近顶点数目的贡献，推导每种图运算的Mostar指数。
• 使用顶点划分和基于距离的计数方法，计算复合图中每条边的顶点数目绝对差。
• 应用已知的基图结果（如路径图、环图、完全图）并利用结构分解将它们组合，推导出闭式表达式。
• 对复合图中不同类型的边（如原始图内的边、组件之间的边、细分或联结构中的边）进行分情况分析。
• 利用对称性和传递性性质（例如，顶点传递图的Mostar指数为零）以简化表达式。
• 通过代数运算和不等式估计，利用边界分析验证结果，特别是在复杂联接运算中对贡献的估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何计算两个图的冠积的Mostar指数？
• RQ2 两个图的笛卡尔积的Mostar指数是什么？它与因子图不变量的关系如何？
• RQ3 能否为联图、字典序积、Indu-Bala积以及细分点边联图运算的Mostar指数推导出闭式表达式？
• RQ4 在这些运算中，分量图的Mostar指数如何组合，以得到复合图的Mostar指数？
• RQ5 这些公式对计算实际化学和纳米结构图的Mostar指数有何意义？

主要发现

• 图G₁和G₂的冠积的Mostar指数由一个公式给出，其中涉及G₁的Mostar指数、G₁和G₂的顶点数与边数，以及G₂中顶点的度数。
• 对于笛卡尔积G₁ □ G₂，Mostar指数表示为G₁和G₂的Mostar指数、各自顶点数以及边数的函数。
• 联图G₁ + G₂的Mostar指数被推导为G₁和G₂的Mostar指数、其顶点集大小以及它们之间边数的组合。
• 字典序积G₁[G₂]的Mostar指数取决于G₁的Mostar指数、G₂的顶点数与边数，以及G₁中顶点的度数。
• 对于Indu-Bala积，Mostar指数通过一个对称公式计算，涉及分量图的Mostar指数及其结构参数。
• 细分点边联图运算的Mostar指数通过详细分析边的贡献推导得出，结果公式涉及原图的阶、大小和度序列。