[论文解读] Motivic classes of generalized Kummer schemes via relative power structures

Andrew Morrison, Junliang Shen|arXiv (Cornell University)|May 12, 2015

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文在阿贝尔幺半群上的代数簇格罗滕迪克环上构建了相对幂结构，以计算广义Kummer概形的motivic类。该工作推广了Cheah对希尔伯特概形的公式，并证明了Gulbrandsen关于Euler示性数的猜想，同时给出了曲面和三倍体中Kummer概形的虚拟motif的显式公式，包括在三倍体情形下具有$y\leftrightarrow y^{-1}$对称性的$\chi_y$亏格的新公式。

ABSTRACT

We develop a power structure over the Grothendieck ring of varieties relative to an abelian monoid, which allows us to compute the motivic class of the generalized Kummer scheme. We obtain a generalized version of Cheah's formula for the Hilbert scheme of points, which specializes to Gulbrandsen's conjecture for Euler characteristics. Moreover, in the surface case we prove a conjecture of Göttsche for geometrically ruled surfaces, and we obtain an explicit formula for the virtual motive of the generalized Kummer scheme in dimension three.

研究动机与目标

• 在阿贝尔幺半群上的代数簇格罗滕迪克环上发展相对幂结构，以研究广义Kummer概形。
• 将Cheah对点的希尔伯特概形的公式推广至motivic设定。
• 通过motivic方法证明Gulbrandsen关于广义Kummer概形Euler示性数的猜想。
• 计算三倍体中广义Kummer概形的虚拟motif。
• 将结果扩展至曲面、曲面和三倍体上扭sheaf堆栈的motivic类。

提出的方法

• 为阿贝尔簇$A$上的格罗滕迪克环$K_0(\text{Var}/A)$引入相对幂结构。
• 利用纤维化$X\to A$上$n$个点的希尔伯特概形及其希尔伯特-昌映射，将广义Kummer概形定义为在零点处的纤维。
• 应用引理2.8，将$A$上希尔伯特概形的motivic类拉回到$K_n(X)$的motivic类。
• 利用局部完全交截概形的虚拟motif（特别在三倍体情形下）在$K_0(\text{HS})[\mathbb{L}^{-1/2}]$中的表示。
• 使用生成系列$\mathcal{T}_X(t)$和$\mathcal{H}_g^{\text{vir}}(t)$编码扭sheaf堆栈的motivic类。
• 应用对称幂结构与杨子群不变量，通过$0^*$-拉回和$g(\alpha)$-加权项提取Kummer纤维。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在阿贝尔幺半群上的代数簇格罗滕迪克环上发展相对幂结构，以计算广义Kummer概形的motivic类？
• RQ2 广义Kummer概形的motivic类是否具有类似于Cheah对希尔伯特概形所给出的公式？
• RQ3 能否通过motivic方法证明Gulbrandsen关于$K_n(X)$的Euler示性数的猜想？
• RQ4 三倍体中广义Kummer概形的虚拟motif是否存在显式公式？
• RQ5 Kummer概形$K_n(X)$的Hodge–Deligne多项式与$\chi_y$亏格如何体现$y \leftrightarrow y^{-1}$对称性？

主要发现

• 本文证明了Cheah对点的希尔伯特概形motivic类公式的广义版本，现适用于阿贝尔簇上的相对设定。
• 建立了三倍体中广义Kummer概形虚拟motif的新公式，将先前结果推广至非光滑情形。
• 在曲面情形下，该公式恢复了Göttsche的猜想，并确认了Göttsche–Soergel对$g=2$的结果，同时证明了Göttsche对$g=1$的猜想。
• 在$X = K3 \times E$的三倍体情形下，$[K_n(X)]_{\text{vir}}$的$\chi_y$亏格满足$y \leftrightarrow y^{-1}$对称性：$\chi_{-y}([K_n(X)]_{\text{vir}}) = (y^{-n/2} + \cdots + y^{n/2}) \sum_{d\cdot m=n} d^2(y^{-m/2} + 22 + y^{m/2})$。
• 当$X$为三倍体时，$K_n(X)$的虚拟motif由下式给出：$[\mathcal{T}_n(X)\to A]_{\text{vir}} = \sum_{\sum m r_i^m = n} \prod_{m\geq 1} m_*\left( \prod_{i=1}^{l_m} \mathbb{L}^{-r_i^m} \frac{[\text{Sym}^{r_i^m}(X)\to A]}{\mathbb{L}^{s_i(r_{\bullet}^m)} - 1} \right)$。