[论文解读] Motivic integration over wild Deligne-Mumford stacks

Takehiko Yasuda|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 38被引用 15

一句话总结

本文在任意特征下，为幂级数环上的野生 Deligne-Mumford 堆栈发展了 motivic 积分理论，将先前的理论推广至包含奇异和非坦率堆栈的情形。它建立了包含转移函数的变量替换公式，并证明了在 Crepant 映射下字符串动机的不变性，从而导出了野生 motivic McKay 对应关系以及 Bhargava 质量公式的 motivic 版本。

ABSTRACT

We develop the motivic integration theory over formal Deligne-Mumford stacks over a power series ring of arbitrary characteristic. This is a generalization of the corresponding theory for tame and smooth Deligne-Mumford stacks constructed in earlier papers of the author. As an application, we obtain the wild motivic McKay correspondence for linear actions of arbitrary finite groups, which has been known only for cyclic groups of prime order. In particular, this implies the motivic version of Bhargava's mass formula as a special case. In fact, we prove a more general result, the invariance of stringy motives of (stacky) log pairs under crepant morphisms.

研究动机与目标

• 将 motivic 积分理论扩展至具有可能被特征整除的阶的稳定子的野生 Deligne-Mumford 堆栈。
• 将变量替换公式推广至包含野生情形下扭弧的转移函数。
• 为堆栈对数对建立 Crepant 双有理映射下字符串动机的不变性。
• 为任意有限群作用证明野生 motivic McKay 对应关系，扩展此前仅限于素数阶循环群的结果。
• 将 motivic 版本的 Bhargava 质量公式作为广义对应关系的特例推导出来。

提出的方法

• 引入扭弧作为从商堆栈 $[E/G]$ 的态射，其中 $E$ 是以 $G$ 为伽罗瓦覆叠的正式圆盘，从而推广经典弧。
• 通过伽罗瓦扩张的模空间构造 $k[[t]]$ 上形式 DM 堆栈的扭弧空间 $\mathcal{J}_\infty\mathcal{X}$。
• 在 $\mathcal{J}_\infty\mathcal{X}$ 上定义 motivic 测度，并引入转移函数 $\mathfrak{s}_{\mathcal{X}}$，其推广了坦率情形下的年龄不变量。
• 证明一个广义的变量替换公式，其中涉及雅可比阶 $\mathfrak{j}_f$ 以及在适当双有理映射下的转移函数 $\mathfrak{s}_{\mathcal{X}}$、$\mathfrak{s}_{\mathcal{Y}}$。
• 利用该理论为堆栈对数对定义字符串动机，并证明其在 Crepant 映射下的不变性。
• 将不变性应用于推导出野生 motivic McKay 对应关系与 motivic Bhargava 质量公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 motivic 积分理论扩展至任意特征下具有非坦率稳定子的野生 Deligne-Mumford 堆栈？
• RQ2 在野生与奇异情形下，变量替换公式的正确推广是什么？转移函数在此中起什么作用？
• RQ3 能否为堆栈对数对定义字符串动机，并在野生情形下证明其在 Crepant 映射下的不变性？
• RQ4 野生 motivic McKay 对应关系是否对任意有限群作用成立，而不仅限于素数阶循环群？
• RQ5 能否从广义 McKay 对应关系中推导出 Bhargava 质量公式的 motivic 版本？

主要发现

• 本文为野生 DM 堆栈上的 motivic 积分建立了广义的变量替换公式，其中涉及推广了年龄不变量的转移函数 $\mathfrak{s}_{\mathcal{X}}$ 和 $\mathfrak{s}_{\mathcal{Y}}$。
• 证明了在堆栈对数对上，字符串动机在 Crepant 双有理映射下保持不变，扩展了坦率情形下的关键性质。
• 为所有有限群作用建立了野生 motivic McKay 对应关系，解决了该理论长期存在的空白。
• 作为广义 McKay 对应关系的特例，得到了 Bhargava 质量公式的 motivic 版本。
• 在非线性与奇异情形下确定了转移函数 $\mathfrak{s}_{\mathcal{X}}$，推广了先前结果，并与 Artin 和 Swan 交换子相联系。