[论文解读] Motivic modular forms from equivariant stable homotopy theory

Nicolas Ricka|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文在 ℝ 和 ℂ 上构造了 motivic 模形式的细胞 motivic 谱，解决了 Dan Isaksen 的一个猜想。通过两步法——首先构建拓扑模形式谱（tmf）的 C₂-等变版本，然后应用带有幂零完备化的 motivic 实现函子——作者得到了一个 motivic 谱，其上同调实现了 motivic 斯廷罗德代数模其由 Sq¹、Sq² 和 Sq⁴ 生成的子代数的商。

ABSTRACT

In this paper, we produce a cellular motivic spectrum of motivic modular forms over $\R$ and $\C$, answering positively to a conjecture of Dan Isaksen. This spectrum is constructed to have the appropriate cohomology, as a module over the relevant motivic Steenrod algebra. We first produce a $\G$-equivariant version of this spectrum, and then use a machinery to construct a motivic spectrum from an equivariant one. We believe that this machinery will be of independent interest.

研究动机与目标

• 构造一个在 Spec(ℝ) 和 Spec(ℂ) 上的 motivic 模形式谱，其上同调具有指定性质。
• 解决 Dan Isaksen 关于 A¹-稳定同伦范畴中存在 motivic tmf 谱的猜想。
• 通过一种新的实现机制，在等变稳定同伦理论与 motivic 稳定同伦理论之间建立桥梁。
• 提供一个 motivic 模形式的模型，其上同调同构于 𝒜ℝ//𝒜ℝ(2) 和 𝒜ℂ//𝒜ℂ(2)。

提出的方法

• 使用 Tate 图和 [BR17] 中确定的 tmf 的 Tate 谱，构建拓扑模形式谱的 C₂-等变版本，记为 tmf_{C₂}。
• 应用贝蒂实现函子及其右伴随 Sing，将等变谱与 Spec(ℝ) 上 A¹-稳定同伦范畴中的 motivic 谱联系起来。
• 利用幂零完备化函子 (·)^∧_{Sing(𝕊})，从 c*tmf_{C₂} 的拉回构造 motivic 谱 mmf_ℝ。
• 利用如下事实： (c*E)^∧_{Sing(𝕊}) 的 motivic 上同调源自 E 的 C₂-等变上同调通过标量扩张得到。
• 利用同构 H𝔽_*^{*}(B′ℤ/2) ≅ H𝔽_*[c,b]/(c² + ρc + τb) 和映射 ι*: H𝔽_*[x] → H𝔽_*[c,b]/(c² + ρc + τb) 计算等变设置下的对偶斯廷罗德代数。
• 证明态射 Ψ: 𝒜_* → 𝔸_* 是一个 𝔽-代数同态，其由涉及 ρ、τ 以及对偶斯廷罗德代数的生成元 ξ_i、τ_i 的显式公式确定。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个在 Spec(ℝ) 上的 motivic 模形式谱，其 motivic 上同调同构于 𝒜ℝ//𝒜ℝ(2)？
• RQ2 能否通过等变方法（利用 C₂-等变 tmf）实现 motivic 模形式的构造？
• RQ3 C₂-等变谱的上同调与它的 motivic 实现的上同调之间的确切关系是什么？
• RQ4 在 motivic 模形式的背景下，motivic 斯廷罗德代数与其等变对应物之间有何关系？
• RQ5 Betti 实现与幂零完备化机制能否系统地用于从等变谱构造 motivic 谱？

主要发现

• 本文构造了一个在 Spec(ℝ) 上的 motivic 谱 mmf_ℝ，使得 H𝔽_ℝ^*(mmf_ℝ) ≅ 𝒜ℝ//𝒜ℝ(2)，从而确认了 Isaksen 的猜想。
• 通过拉回，该构造在 Spec(ℂ) 上得到一个 motivic 谱 mmf_ℂ，满足 H𝔽_ℂ^*(mmf_ℂ) ≅ 𝒜ℂ//𝒜ℂ(2)。
• 关键构造为 mmf_ℝ := (c*tmf_{C₂})^∧_{Sing(𝕊})，其中 tmf_{C₂} 是 tmf 的 C₂-等变版本。
• (c*E)^∧_{Sing(𝕊}) 的 motivic 上同调源自 E 的 C₂-等变上同调通过标量扩张得到，从而在等变与 motivic 上同调之间建立了精确联系。
• 态射 Ψ: 𝒜_* → 𝔸_* 被显式计算，其中 Ψ(ξ̄₁) = τ₀ + ρξ₁ 且 Ψ(ξ̄₂) = ρ³ξ₂ + ρ²ξ₁τ₁ + ρτ₀τ₁ + ττ₁。
• 证明依赖于包含 ι*、λ* 和 Ψ 的交换图，并利用对偶斯廷罗德代数中的共轭关系来验证 Ψ(ξ̄_n) 的公式。