[论文解读] Motzkin Intervals and Valid Hook Configurations

Colin Defant|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2019

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 19被引用 6

一句话总结

本文引入了一种新的Motzkin路径偏序关系，介于Stanley格与Tamari格之间，并建立了312-避免排列中有效挂钩构型与这些新偏序集中区间的双射。研究证明，231-避免的有效挂钩构型的数量与Fang的Motzkin-Tamari偏序集中区间的计数序列相同，提供了该计数的渐近公式和生成函数，同时推测其与小步四分平面格路之间存在深层联系。

ABSTRACT

We define a new natural partial order on Motzkin paths that serves as an intermediate step between two previously-studied partial orders. We provide a bijection between valid hook configurations of $312$-avoiding permutations and intervals in these new posets. We also show that valid hook configurations of permutations avoiding $132$ (or equivalently, $231$) are counted by the same numbers that count intervals in the Motzkin-Tamari posets that Fang recently introduced, and we give an asymptotic formula for these numbers. We then proceed to enumerate valid hook configurations of permutations avoiding other collections of patterns. We also provide enumerative conjectures, one of which links valid hook configurations of $312$-avoiding permutations, intervals in the new posets we have defined, and certain closed lattice walks with small steps that are confined to a quarter plane.

研究动机与目标

• 定义Motzkin路径上的新偏序关系 $\mathcal{M}_n^C$，使其成为Stanley格 $\mathcal{M}_n^S$ 与Tamari偏序集 $\mathcal{M}_n^T$ 之间的中间结构。
• 在312-避免排列中的有效挂钩构型与新定义的偏序集中的区间之间建立双射。
• 枚举避免231（或132）的排列中的有效挂钩构型，将其与Fang的Motzkin-Tamari偏序集中的区间计数联系起来。
• 推导此类构型数量的渐近公式，并为231-避免情形提供生成函数。
• 推测231-避免的有效挂钩构型、Motzkin-Tamari区间与小步四分平面格路之间存在深层组合联系。

提出的方法

• 在Motzkin路径上定义新偏序关系 $\mathcal{M}_n^C$，使其成为Stanley格 $\mathcal{M}_n^S$ 与Tamari偏序集 $\mathcal{M}_n^T$ 之间的中间结构。
• 在312-避免排列中的有效挂钩构型与 $\mathcal{M}_n^C$ 中的区间之间建立双射。
• 使用递推关系与生成函数枚举231-避免排列中的有效挂钩构型，推导出二元生成函数 $I(x,z)$。
• 应用核法求解 $I(x,z)$ 的函数方程，得到 $|\mathsf{VHC}(\operatorname{Av}_n(231,1243))|$ 的闭式生成函数。
• 通过归一化技巧与组合分解，将问题简化为子构型中选择数的计数，导出涉及 $A_{\geq j-1}(i)$ 与 $B_{\geq j-1}(n)$ 的递推关系。
• 推测 $|\mathsf{VHC}(\operatorname{Av}_n(132,3241))|$ 与 $|\mathsf{VHC}(\operatorname{Av}_n(231,2143))|$ 的生成函数为 $\frac{1+x^2 - \sqrt{1-4x+2x^2+x^4}}{2x}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何定义Motzkin路径上的新偏序关系，使其成为Stanley格与Tamari格之间的中间结构？
• RQ2 是否存在312-避免排列中有效挂钩构型与新偏序集 $\mathcal{M}_n^C$ 中区间的自然双射？
• RQ3 231-避免排列中有效挂钩构型数量的渐近增长速率是多少？
• RQ4 能否为避免231与1243的排列中有效挂钩构型数量推导出闭式生成函数？
• RQ5 231-避免的有效挂钩构型、Motzkin-Tamari偏序集中的区间与四分平面格路之间是否存在深层组合联系？

主要发现

• 长度为 $n$ 的312-避免排列中有效挂钩构型的数量与新偏序集 $\mathcal{M}_n^C$ 中区间的数量相等，建立了直接双射。
• 长度为 $n$ 的231-避免排列中有效挂钩构型的数量由与Fang的Motzkin-Tamari偏序集 $\mathcal{M}_n^T$ 中区间计数相同的序列所给出，其渐近增长率为 $\sim \frac{4^n}{n^{3/2}}$。
• 推导出 $|\mathsf{VHC}(\operatorname{Av}_n(231,1243))|$ 的生成函数为 $\sum_{n\geq 0} |\mathsf{VHC}(\operatorname{Av}_n(231,1243))| x^n = 1 + \frac{2x^2}{3x - 1 + \sqrt{1 - 2x - 3x^2}}$，即 $I(x,0)$ 的生成函数。
• 当 $r=3$ 时，本文给出了显式生成函数：$|\mathsf{VHC}(\operatorname{Av}_n(132,231,312))| = F_n$（第 $n$ 个斐波那契数），以及 $|\mathsf{VHC}(\operatorname{Av}_n(132,231,321))| = 1 + \binom{n-1}{2}$。
• 提出一个猜想：$|\mathsf{VHC}(\operatorname{Av}_n(132,3241))|$ 与 $|\mathsf{VHC}(\operatorname{Av}_n(231,2143))|$ 具有相同的生成函数 $\frac{1 + x^2 - \sqrt{1 - 4x + 2x^2 + x^4}}{2x}$，其中第一个等式由文献[22]中的先前结果支持。