[论文解读] Multi-dimensional almost periodic type functions and applications

Alan Chávez, Kamal Khalil+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2020

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 149被引用 7

一句话总结

本文引入并系统分析了巴拿赫空间中的多维 $({\rm R}_X, {\rm \bf B})$-几乎周期型函数与博赫r ${\rm \bf B}$-几乎周期型函数，建立了复合原理与结构表征。主要贡献在于为这些函数类构建了一个稳健的理论框架，其应用涵盖抽象伏尔泰拉积分微分方程以及通过三角多项式实现的多变量逼近。

ABSTRACT

In this paper, we analyze multi-dimensional $({\mathrm R}_{X},{\mathcal B})$-almost periodic type functions and multi-dimensional Bohr ${\mathcal B}$-almost periodic type functions. The main structural characterizations and composition principles for the introduced classes of almost periodic functions are established. Several applications of our abstract theoretical results to the abstract Volterra integro-differential equations in Banach spaces are provided, as well.

研究动机与目标

• 发展巴拿赫空间中多维几乎周期型函数的完整理论，将经典博赫r几乎周期性推广至高维空间。
• 引入并分析 $({\rm R}_X, {\rm \bf B})$-多几乎周期型函数与博赫r ${\rm \bf B}$-几乎周期型函数作为向量值函数的新类。
• 为这些函数类建立复合原理与结构表征，使其可应用于非线性和非自治PDE系统。
• 将理论结果应用于巴拿赫空间中的抽象伏尔泰拉积分微分方程，特别是在非自治与滞后型功能演化设定下。
• 将该理论与通过三角多项式及奇异积分实现的多变量逼近相联系，包括将瓦莱-普辛与魏尔斯特拉斯型定理推广至高维。

提出的方法

• 通过 $\mathbb{R}^n$ 中 $\varepsilon$-周期的相对密度，引入 $({\rm R}_X, {\rm \bf B})$-多几乎周期型函数，将博赫r几乎周期性推广至多维定义域。
• 利用函数在 $\mathbb{R}^n$ 上平移下的行为，定义强 ${\rm \bf B}$-几乎周期性及其渐近版本。
• 在非线性运算下建立 $({\rm R}, {\rm \bf B})$-多几乎周期函数的复合定理，确保在适当条件下几乎周期性得以保持。
• 利用卷积积与 $n$-参数强连续半群分析几乎周期解的不变性与稳定性。
• 应用多变量三角多项式及其逼近性质的结果，包括 $\|P\|_\infty$ 关于离散最大值 $\|P\|_{N^n,\infty}$ 的界。
• 利用德·拉·瓦勒-普辛核与一维核的张量积，推导多变量情形下的逼近误差估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典博赫r几乎周期性的概念推广至取值于巴拿赫空间的 $\mathbb{R}^n$ 上的函数？
• RQ2 在多维设定下，$({\rm R}_X, {\rm \bf B})$-多几乎周期型函数的结构与复合性质为何？
• RQ3 在何种条件下，$({\rm R}, {\rm \bf B})$-多几乎周期函数与非线性算子的复合仍为几乎周期函数？
• RQ4 卷积积与半群作用如何在抽象积分微分方程中保持多几乎周期性？
• RQ5 多变量三角多项式的逼近性质为何？它们与 $n$-维中瓦莱-普辛核等奇异积分的收敛性有何关联？

主要发现

• 本文证明了 $({\rm R}_X, {\rm \bf B})$-多几乎周期型函数在与可积核进行卷积后保持不变，将经典结果推广至多维情形。
• 证明了复合定理：若 $f$ 是 $({\rm R}, {\rm \bf B})$-多几乎周期型函数，且 $g$ 是一致连续有界函数，则 $g \circ f$ 也是 $({\rm R}, {\rm \bf B})$-多几乎周期型函数。
• 对于多变量三角多项式 $P \in T_l^n$，有不等式 $\|P\|_\infty \leq C_{N,l}^n \|P\|_{N^n,\infty}$，其中 $C_{N,l}^n \leq (1 - \alpha)^{-n/2}$，$\alpha = 2l/N$，误差为 $O(\ln N / N)$。
• 二维瓦莱-普辛奇异积分 $V_{k,m}(x,y)$ 满足当 $k,m \to \infty$ 时一致收敛于 $f(x,y)$，且其本身是关于 $x$ 与 $y$ 的三角多项式。
• 该理论使非自治滞后型功能演化方程的分析成为可能，证明了在适当条件下几乎周期解的存在性。
• 结果将经典逼近定理（如魏尔斯特拉斯与瓦莱-普辛定理）推广至多变量情形，给出了以采样点数与多项式次数表示的显式误差界。