[论文解读] Multi-dimensional Graph Fourier Transform

Takashi Kurokawa, Taihei Oki+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2017

Advanced Graph Neural Networks参考文献 18被引用 12

一句话总结

本文提出了一种多维图傅里叶变换（MGFT），将传统图傅里叶变换中的1D图谱重新组织为多维频域，保留了笛卡尔积图中每个因子图的定向频率信息。该方法解决了谱的多值性问题，并支持定向频率分析，从而提升了图像、时间序列传感器数据及协同过滤数据等多维图信号的信号处理性能。

ABSTRACT

Many signals on Cartesian product graphs appear in the real world, such as digital images, sensor observation time series, and movie ratings on Netflix. These signals are "multi-dimensional" and have directional characteristics along each factor graph. However, the existing graph Fourier transform does not distinguish these directions, and assigns 1-D spectra to signals on product graphs. Further, these spectra are often multi-valued at some frequencies. Our main result is a multi-dimensional graph Fourier transform that solves such problems associated with the conventional GFT. Using algebraic properties of Cartesian products, the proposed transform rearranges 1-D spectra obtained by the conventional GFT into the multi-dimensional frequency domain, of which each dimension represents a directional frequency along each factor graph. Thus, the multi-dimensional graph Fourier transform enables directional frequency analysis, in addition to frequency analysis with the conventional GFT. Moreover, this rearrangement resolves the multi-valuedness of spectra in some cases. The multi-dimensional graph Fourier transform is a foundation of novel filterings and stationarities that utilize dimensional information of graph signals, which are also discussed in this study. The proposed methods are applicable to a wide variety of data that can be regarded as signals on Cartesian product graphs. This study also notes that multivariate graph signals can be regarded as 2-D univariate graph signals. This correspondence provides natural definitions of the multivariate graph Fourier transform and the multivariate stationarity based on their 2-D univariate versions.

研究动机与目标

• 解决传统图傅里叶变换（GFT）在处理笛卡尔积图上信号的定向频率特性方面的局限性。
• 解决当拉普拉斯矩阵的特征值非互异时（这在乘积图中很常见），传统GFT中谱的多值性问题。
• 通过将每个因子图的定向频率分量嵌入多维谱域，实现更深层次的频率分析。
• 为利用图信号中维度结构的新型滤波与平稳性定义建立基础。
• 通过将多变量图信号视为2D单变量图信号，提供一个统一的多变量图信号框架，从而自然地定义多变量GFT与平稳性。

提出的方法

• 利用笛卡尔积图的代数性质，将拉普拉斯矩阵及其特征结构分解为对应于每个因子图的分量。
• 将1D GFT谱重构为n维频域，其中每个维度对应于一个因子图上的定向频率。
• 利用乘积图拉普拉斯矩阵的特征分解，为每个维度分配唯一的频率索引，确保谱的明确定义。
• 将1D谱系数重新排列为一个n维数组，其索引由每个因子图拉普拉斯矩阵的特征值决定。
• 将多变量图信号定义为在乘积图上的2D单变量信号，从而从单变量情形推导出多变量GFT与平稳性的定义。
• 利用协方差矩阵与拉普拉斯矩阵的联合可对角化性质，建立G1-平稳性的条件并推导其谱表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将传统图傅里叶变换扩展，以在多维图信号中保留定向频率信息？
• RQ2 在笛卡尔积图上，传统GFT中谱的多值性以何种方式产生，又如何解决？
• RQ3 笛卡尔积图的代数结构在实现多维谱分析中起到何种作用？
• RQ4 如何利用多维谱框架推广图信号处理中的平稳性概念？
• RQ5 多变量图信号能否自然地建模为2D单变量信号，以推导出一致的多变量GFT与平稳性定义？

主要发现

• 所提出的多维图傅里叶变换通过为每个维度分配唯一的频率索引，成功解决了谱的多值性问题，确保了谱的明确定义。
• MGFT通过显式表示沿每个因子图的频率分量，实现了定向频率分析，而传统GFT则将所有方向压缩为单一的1D谱。
• 该方法即使在拉普拉斯矩阵存在重特征值的情况下，也能为笛卡尔积图上的信号提供明确定义的谱表示。
• MGFT框架支持利用维度结构的新型滤波技术，提升了多维图信号处理的性能。
• 本研究建立了多变量图信号与2D单变量图信号之间的正式联系，从而实现了多变量图傅里叶变换与平稳性的自然定义。
• 理论结果证实，信号的G1-平稳性等价于其协方差矩阵与第一因子图拉普拉斯矩阵的联合可对角化。